Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Геометрия, 10 класс.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Задачи на нахождение площади сечения многогранника Подготовка к решению задач ЕГЭ Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ 6» г.
Advertisements

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
Угол в пространстве Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими.
Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Основные понятия Скрещивающиеся прямые Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми.
ЗАДАЧИ ЕГЭ (С2). Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.
Необходимые формулы и теоремы Площадь треугольника можно вычислить по формулам Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле Объем пирамиды.
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающи- мися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
Обобщенный конус Пусть F - фигура на плоскости π, и S - точка вне этой плоскости. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с точкой S, образуют фигуру в пространстве,
Готовимся к ЕГЭ. Задача С 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
Взаимное расположение прямых в пространстве. A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – КУБ. ТОЧКИ K, M, N – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР B 1 C 1, D 1 D,
Транксрипт:

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Геометрия, 10 класс.

Две пересекающиеся прямые в пространстве определяют единственную плоскость, поэтому угол между пересекающимися прямыми в пространстве определяется так же как в плоскости. Вспомним это определение: а в М Определение Определение. Меньший из неразвернутых углов, полученных при пересечении двух прямых, называется углом между данными прямыми. Из определения следует, что угол между двумя пересекающимися прямыми не может превышать 90 0 т.е. Если прямые параллельные, то величина угла между ними считается равной 0 0.

A B C D1D1 A1A1 C1C1 Пример 1 Пример 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и BC 1 ; 2) BC 1 и CB 1 ; 3) AA 1 и CC 1 ; 4) A 1 C 1 и BC 1. BC C1C1 В1В1 Решение. 1) BC 1 C=45 0 (по свойству диагоналей квадрата); 2) C 1 ОC=90 0 (по свойству диагоналей квадрата); О О 3) 0 0, т.к. AA 1 CC 1 ; 4) A 1 C 1 B=60 0 (по свойству равностороннего треугольника ΔA 1 C 1 B); Ответ: 1) 45 0 ; 2) 90 0 ; 3) 0 0 ; 4) 60 0.

В общем случае, для нахождения угла между пересекающимися прямыми обычно рассматривают треугольник, в который входит интересующий нас угол. В прямоугольном треугольнике необходимо выразить какую-либо тригонометрическую функцию этого угла, в произвольном треугольнике – косинус данного угла (по следствию из теоремы косинусов). Далее сам угол находят с помощью обратных тригонометрических функций. Пример 2 Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, AB=4 см, ВС=3 см, ВВ 1 =2 см. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и BC 1 ; 2) BC 1 и CB 1 ; 3) AA 1 и CC 1 ; 3) A 1 C 1 и BC 1. A B C A1A1 D1D1 C1C1 Решение. 1) BC 1 C. Из ΔBC 1 C, С=90 0 : tg BC 1 C=1,5 BC 1 C= arctg 1, ; 2) C 1 ОC. Из ΔOC 1 C, OC=OC 1 : О =180 0 –2· С 1 = = –2 arctg 1, – = ;(по теореме о сумме углов треугольника и свойству равнобедренного тр-ка) О 3) 0 0, т.к. AA 1 CC 1 ; 4) A 1 C 1 B. Стороны ΔA 1 C 1 B находим из прямоугольных треугольников ΔA 1 C 1 D 1, ΔAA 1 B, ΔCC 1 B по теореме Пифагора: A 1 C 1 =5 см, A 1 B= см, BC 1 = см. Теперь, по следствию из теоремы косинусов:

Определение Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между соответственно параллельными им пересекающимися прямыми: а в в'в' T a, b, b b ', T a, b' Обратите внимание, что плоскость, образованная пересекающимися прямыми a и b параллельна прямой b (по признаку параллельности прямой и плоскости).

A B C D1D1 A1A1 C1C1 Пример 3 Пример 3. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между прямыми: 1) CC 1 и АB; 2) AD 1 и CB 1 ; 3) AD 1 и BA 1 ; 4) AC 1 и BB 1 ; 5) AC 1 и BD. Решение. 1) =90 0 (по определению квадрата); 2) (по свойству диагоналей квадрата); 3) (по свойству равностороннего треугольника ΔA 1 C 1 B); 4) = AC 1 С. В ΔACC 1, С=90 0 можно выразить любую из тригонометрических функций, т.к. известны все его стороны: СС 1 = а, АС=, AC 1 =. Например, 5), где О BD, AC и М – середина СС 1. O M ΔBMD – равнобедренный с основанием BD, МО – медиана, а значит и высота, т.е. MOB=90 0. D

Задание. Докажите, что все скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны. A B C S K Дано: SABC – треугольная пирамида, SA=SB=SC, AB=BC=AC. Доказать: AC BS. Доказательство. 1) Построим сечение тетраэдра, проходящее через ребро BS и точку К – середину ребра АС. 2) По свойству медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника АС SK и AC BK. 3) Т.к. АС SK и AC BK, то АС (BKS) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А значит, АС BS (BKS) (по определению перпендикулярности прямой и плоскости) Перед заключительным этапом доказательства вспомните определение и признак перпендикулярных прямой и плоскости.

Определение Определение. Углом между плоскостью и пересекающей её прямой называется угол между данной прямой и её прямоугольной(ортогональной) проекцией на данную плоскость. т n K, где m =K, m n =K, n, P m, F n, PF. P F Обратите внимание, что понятия угла между скрещивающимися прямыми и угла между прямой и плоскостью сводятся к понятию угла между пересекающимися прямыми.

A C D1D1 A1A1 Пример 4 Пример 4. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите углы между : 1) BC 1 и (АBC); 2) A 1 C 1 и (CBB 1 ); 3) AC 1 и (AA 1 D 1 ). B C1C1 Решение. 1) (по свойству диагоналей квадрата); 2) (по свойству диагоналей квадрата); 3) a Ответ: 1) 45 0 ; 2) 45 0 ; 3).