«Показательная функция» Учитель математики МАОУ лицей 3 города Кропоткин Краснодарского края Зозуля Елена Алексеевна

Цель: Рассмотрение основных свойств показательной функции. Построение графика. Решение показательных уравнений. Решение показательных неравенств.

Определение Показательная функция – это функция вида, где x – переменная, - заданное число, >0, 1. Примеры:

Свойства показательной функции 1.Область определения: все действительные числа 2.Множество значений: все положительные числа 3.При > 1 функция возрастающая; при 0 < < 1 функция убывающая. D(y) = R; E(y) = (0; + );

График показательной функции Т.к., то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1) 1 1 хх уу 00

Показательные уравнения Определение Простейшие уравнения Способы решения сложных уравнений

Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры:

Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

Способы решения сложных показательных уравнений. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Замена переменной Деление на показательную функцию

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Данный способ используется, если соблюдаются два условия: 1) основания степеней одинаковы; 2) коэффициенты перед переменной одинаковы Например:

Замена переменной При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному. Способ замены переменной используют, если показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0 коэффициенты перед переменной противоположны. Например: х – 2 х – 1 =1 б) а) основания степеней одинаковы;

Деление на показательную функцию Данный способ используется, если основания степеней разные. а) в уравнении вида a x = b x делим на b x Например : 2 х = 5 х | : 5 x б) в уравнении A a 2x + B (ab) x + C b 2x = 0 делим на b 2x. Например: 3 25 х х х = 0 | : 9 x

Показательные неравенства Определение Простейшие неравенства Решение неравенств

Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры:

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида: где a > 0, a 1, b – любое число.

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции. Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

Построение графика Сравнение чисел с использованием свойств показательной функцииСравнение чисел с использованием свойств показательной функции Сравнение числа с 1 а) аналитический способ;аналитический способ; б) графический способ.графический способ.

Задача 1 Построить график функции y = 2 x xy х у

Задача 2 Сравнить числа Решение Ответ:

Задача 3 Сравнить число с 1. Решение -5 < 0 Ответ:

Задача 4 Cравнить число р с 1 р = 2 > 1, то функция у = 2 t – возрастающая. 0 < < 1, то функция у = – убывающая Ответ: 2 3 > 1. Ответ:> 1 р =

Простейшие показательные уравнения Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателемУравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1;случай 1; случай 2.случай 2 Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1;случай 1; случай 2.

Простейшие показательные уравнения Ответ: - 5,5. Ответ: 0; 3.

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: 5 x (x - 2) = = x + 1 – x + 2 = 3

Замена переменной (1) основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0 t = 3 x (t > 0) t 2 – 4t – 45 = 0 По т. Виета: t 1 · t 2 = - 45; t 1 + t 2 =4 t 1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию 3 x = 9; 3 x = 3 2 ; x = 2. Ответ : 2

Замена переменной (2) Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной противоположны. По т. Виета: - Не удовлетворяет условию Ответ: 1

Деление на показательную функцию Ответ: 0

Деление на показательную функцию Ответ: 0; 1.

Простейшие показательные неравенстваПростейшие показательные неравенства Двойные неравенства Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателемНеравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Неравенства, решаемые заменой переменнойНеравенства, решаемые заменой переменной

Простейшие показательные неравенства

Двойные неравенства Ответ: (- 4; -1). 3 > 1, то

Решение показательных неравенств Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х >3 Т.к. 3 > 1, то знак неравенства остается прежним : 10

Решение показательных неравенств Метод: Замена переменной Ответ: х < -1. 3>1, то

Используемая литература. А.Г.Мордкович: Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень), 10класс,2011г. А.Н. Колмогоров: Алгебра и начала математического анализа,2008г. Интернет