§3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника.

Задача 3 из диагностической работы

Для решения задач этого раздела нужно знать свойства и признаки параллелограмма, теорему о средней линии треугольника, теорему о медианах треугольника (медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника), Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Теорема. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

ПРИМЕР 1. В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно а и Ь и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырёхугольника. Роспись за запись решения на доске Идея решения. По диагоналям параллелограмма найти его стороны – это половины диагоналей данного четырехугольника

ПРИМЕР 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 1. Прямые ВС и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей АС и BD. Ответ: Оригинальный способ решения : найти параллелограмм!!! 1 Р

ПРИМЕР 3. Вершины одного параллелограмма лежат по одной на сторонах другого. Докажите, что центры параллелограммов совпадают. Оригинальный способ решения : найти параллелограмм!!!

7 подготовительных задач 3.1. Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд АС и ВС некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30° и 45°. Найдите отношение сторон параллелограмма Вершины М и N квадрата KLMN лежат на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC (N между В и М), а вершины К и L на катетах ВС и АС соответственно. Известно, что AM = а и BN = Ь. Найдите площадь квадрата. Балл за решение каждой задачи

7 подготовительных задач 3.4. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона равна 4. Балл за решение каждой задачи

7 подготовительных задач 3.6. В четырёхугольнике ABCD известны углы: DAB=90°, DBC= =90°. Кроме того, DB = a, DC = b. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, А, В, а другая через точки B,C,D На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ ромб. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD равна 3. Балл за решение каждой задачи