Метод параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур на плоскости. Геометрия, 10 класс. 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Итак, мы приступили к изучению стереометрии – геометрии в пространстве. Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость? Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки. Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А. А

А Выберем в пространстве произвольную плоскость (её мы будем называть плоскостью проекций) и любую прямую a ( она задает направление параллельного проектирования). а

А а Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а. А Точка А пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость. Точку А ещё называют прообразом, а точку А – образом. Если А, то А совпадает с А.

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.). а Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом(прообраз) в пространстве тень(образ) от солнечных лучей(направление параллельного проектирования) на Земле(плоскость проекций).

Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему). А а

Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры. А а B C А B C

Примечание 3. Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным(прямоугольным) проектированием. А а B C А B C

Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны ( ||(АВС)), то получающееся при этом изображение… А а B C А B C …правильно – равно прообразу!

Параллельное проектирование обладает свойствами: 1) параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; а A D C B A D C B

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; Параллельное проектирование обладает свойствами: 1)параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; а A D C B A D C B Если, например, АВ=2CD, то АВ=2CD или М М

Параллельное проектирование обладает свойствами: 1)параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; а A B A B 3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение – см. примечание 4). 2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; β β C C

Итак, построим изображение куба: Далее разберем примеры изображения некоторых плоских фигур…

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Произвольный треугольник Прямоугольный треугольникПроизвольный треугольник Равнобедренный треугольникПроизвольный треугольник

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Равносторонний треугольникПроизвольный треугольник ПараллелограммПроизвольный параллелограмм ПрямоугольникПроизвольный параллелограмм

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Квадрат Произвольный параллелограмм ТрапецияПроизвольная трапеция Произвольный параллелограмм Ромб

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Равнобокая трапецияПроизвольная трапеция Прямоугольная трапеция Произвольная трапеция Круг (окружность) Овал (эллипс)

A BC D EF O Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника. F A BC D E Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D. Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA. K N Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K; O NK 2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D.

A B C DE Попробуйте самостоятельно построить изображение правильного пятиугольника. Подсказка: разбейте фигуру на две части – равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и,конечно же, свойствами параллельного проектирования. A C DE Решение. Просмотрите ход построения… B