ПРОЕКТ ученицы 11 «Б» класса МОУ Алексеевской СОШ Рябовой Светланы Под руководством Плешаковой О.В.

ТЕМА ПРОЕКТА:ПРОИЗВОДНАЯ

Из истории; Понятие о производной; Правила вычисления производной: -Основные правила дифференцирования, -Производная степенной функции. Производная сложной функции: -Сложная функция, -Производная триногометрических функций; Применение.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах. Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др производной

Понятие о производной Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение f/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx при ΔX, стремящемся к нулю.

Основные правила дифференцирования Правило 1. Если функции u и v дифференцируемыв точке x0,то их сумма дифференцируема в этой точке (u+v)'= u'+v'. Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то она непрерывна в этой точке:f0 при x0, т.е. f(x0+x )(x0) при x0.

Правило 2. Если функции u и v дифференцируема в точке x0,то произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)'=u'v+uv'.

Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и (Cu) ' =Cu '. Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак проязводной.

Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x 0 и (u/v)'=u'v-uv'/v².

Производная степенной функции : Для любого целого n и любого x (x0 при n1) (x)'=nx ־ ¹.

Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.

Производная сложной функции : Если функция f имеет производную в точке x0,а функция g имеет производную в точке y0=f( x0 ), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x0 причём h'(x0)=g'(f( x0 ))·f '( x0 ).

Производные триногометрически х функций: Фориула производной синуса: Функция синус имеет производную в любой точке и (sin x) ' =cos x.

Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos x, y=tg x, y=ctg x имеют производные вкаждой точке своей области определения, и справедливы формулы: (cos x) ' =-sin x, (tg x) ' =1/cos ² x, (ctg x)'=-1/sin²x.

(sin x) ' =cos x (cos x) ' =-sin x, (tgx) ' =1/cos ² x, (ctg x)'=-1/sin²x.

Производные широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен

Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.

КОНЕЦ КОНЕЦ