Понятие положительной скалярной величины и ее измерения Величины одного рода или однородные величины - это величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов. Пример: длина стола, длина комнаты- это величины одного рода.

Основные положения: 1) Любые две величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Имеют место отношения "равно","меньше" и "больше",и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А B. Пример: масса яблока меньше массы арбуза. 2) Отношение "меньше" для однородных величин транзитивно: если A

4) Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение. Разностью величин А и В называется такая величина С=А-В, что А=В+С. Разность величин А и В существует, если А>В. Пример: если А-длина отрезка a, В-длина отрезка b, то С=А-В- это длина отрезка c. а c b

5) Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В= х х А, В- произведение величины А на число х. Пример: если А-масса одного яблока, то умножив А на число х=3,получим величину В=3 х А - массу трех яблок.

6) Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число. Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А:В, что А = х х В. Пример: если А-длина отрезка а, В-длина отрезка b и отрезок А состоит из 4-х отрезков равных b, то А:В=4,т.к А = 4 х В. a b

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью- их можно оценивать количественно. Выбирают величину, которую называют единицей измерения-Е. Если задана величина А и выбрана единица величины Е, то измерить величину А-это значит найти такое положительное действительное число х, что А= х х Е. Число х- численное значение величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше(меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут х= m E (А) Пример: А-длина отрезка а, Е-длина отрезка b, то А=4 х Е.число 4-это мера длины А при единице длины Е. a b

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной. Положительная скалярная величина - скалярная величина, которая при выбранной единице измерения принимает только положительные численные значения. Пример: площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода или разнородными величинами. Пример: длина и масса-это разнородные величины.

В ТЕОРИЮ

a)Персики дороже яблок. b)Шкаф тяжелее стула. c)Катя выше Гали. Проверить себяДалее 1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

Положительная скалярная величина. а) Персики дороже яблок- стоимость. б) Шкаф тяжелее стула- масса. в) Катя выше Гали- длина.

2. Какие величины можно сравнить между собой: а) 1200 м; б) 20 штук в) 320 кг г) 12 мин 1) 2 ц 2) 2км 400м 3) 20 пар 4) 1 час ДалееПроверить себя

а) 1200 м; б) 20 штук в) 320 кг г) 12 мин 1) 2 км 400 м 2) 20 пар 3) 2 ц 4) 1 час

3. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины: а)В сумке 5 кг апельсинов. б)Глубина бассейна 2 м. в)Площадь участка 8 соток. г)Рост мальчика 1м 70 см. а) В сумке 5 кг. апельсинов. б) Глубина бассейна 2 м. в) Площадь участка 8 соток. г) Рост мальчика 1м 70 см. Проверить себяДалее

а) объект- апельсины, величина -масса, число 5- численное значение, единица измерения- килограмм; б) объект -глубина бассейна, величина-длина, число 2- численное значение, единица измерения- метр; в) объект -участок, величина - площадь, число 8- численное значение, единица измерения- сотка; г) объект -рост мальчика, величина - длина, число 1м 70 см -численное значение, единица измерения м и см.

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности Понятие: "отрезок состоит из отрезков". Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х 1,х 2,…х п, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы: отрезок х разбит на отрезки х 1,х 2,…х п и пишут х= х 1 +х 2 +…+х п Пусть задан отрезок х, его длина обозначим Х, е - единичный отрезок, Е-длина отрезка.

Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е. Пример: х- отрезок, состоит из 6 отрезков, равных отрезку е- единичный отрезок; Е-длина единичного отрезка; Х-длина отрезка х, то Х=6Е или 6=m Е (Х). а ее1е1

Из определения получаем, что НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО как результат измерения длины отрезка (или мера длины отрезка),показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. Замечания: 1. При переходе к другой единице длины численное значение длины отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Пример: если в качестве единицы длины выбрать е 1,то мера длины отрезка х=3. Записывается: Х=3 х Е 1 или m E1 (Х)=3. 2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок e состоит из b отрезков, равных е, то а=b, тогда и только тогда, когда отрезки х=у. Пример: В записи 3 см 2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью равной квадратному сантиметру.

Смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей. Сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b. а+b=m E (Y)+ m E (Z) = m E (Y+Z)=m E (Х)

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длина отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у. Разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z=x-y, что z+y=x, если мера длины отрезка х равна а, мера отрезка у равна b. а-b=m E (Х) - m E (Y)= m E (X-Y)= m E (Z) Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

В ТЕОРИЮ

1. Какой смысл имеет натуральное число 5, если оно получается в результате: а) Длины отрезка; б) Площади фигуры; в) Массы тела? Проверить себяДалее

а) мера длины отрезка; б) фигура состоит из 5 единичных квадратов; в) численное значение массы.

2. Объясните, почему следующая задача решается при помощи сложения: Когда со стола взяли 3 книги, то на нем осталась 1 книга. Сколько книг лежало на столе первоначально? Проверить себяДалее

В задаче идет речь о количестве книг. Известно их численное значение. Требуется найти численное значение количества книг, которое получится, если данные книги сложить. Получаем выражение 3+1.Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 3+1,получим ответ на вопрос задачи.

3. Объясните, почему следующая задача решается при помощи вычитания: С двух участков собрали 8 пучков укропа. Сколько пучков укропа собрали с первого участка, если со второго участка собрали 5 пучков? Проверить себяДалее

В задаче рассматривается количество пучков укропа, известно их численное значение. Это количество складывается из количества пучков укропа, собранных с первого и второго участков, численное значение которого также известно. Требуется узнать численное значение пучков укропа, собранных с первого участка. Так как количество пучков укропа собранных с первого участка можно получить, вычитая из общего количества пучков укропа, собранных с двух участков количество собранных пучков со второго участка, то численное значение пучков укропа, собранных с первого участка находят действием вычитания: 8-5. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

4. Обоснуйте выбор действия при решении задачи: Купили 3 кг яблок, а апельсинов на 2 кг больше. Сколько килограммов апельсинов купили? Проверить себяДалее

В задаче идет речь о двух величинах- массе яблок и массе апельсинов. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй массы надо найти, зная, что апельсинов на 2 кг больше, чем яблок. Видно, что апельсинов купили столько же, сколько яблок, и еще 2 кг, т.е масса апельсинов складывается из двух масс яблок(3кг и 2кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс-слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи. Модель задачи: 3 кг ? 2кг

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин Умножение и деление натуральных чисел- мер величин связано с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е 1, то мера длины отрезка х при единице длины Е 2 равна а х b. Если натуральное число а- мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b-мера длины Е при единице длины Е1, то произведение а х b-это мера длины отрезка х при единице длины Е1. а х b=т Е (Х) х m E1 (E)=m E1 (X) Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, отрезок длины Е 1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е 1 равна а:b. Если натуральное число а- мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b- мера новой единицы длины Е 1 при единице длины Е, то частное а:b- это мера длины отрезка х при единице длины Е 1. а:b= т Е (Х):m E (E 1 )=m E1 (X) Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Задачи. 1.Объяснить смысл произведения 3х4, если 4 и 3-числа полученные в результате измерения величин. Решение. Пусть 4=m E (X),3=m E1 (E), где Х - измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Е 1 -новая единица величины. Тогда согласно теореме, 4х3=m E1 (X), т.е 4х3 -это численное значение длины Х при единице длины Е 1. Х Е Е1Е1

2. Обосновать выбор действия при решении задачи. В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках? Решение. В задаче идет речь о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек. Тогда 3кор.=3 х кор.=3 х (6 руч.)=3 х (6 х руч.)=(3 х 6)руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной единицы величины (коробка) к другой - ручка.

3. Обосновать выбор действия при решении задачи. Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили? Решение: В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины метр, и известно численное значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей –платьем, причем известно, что платье-это 4м,откуда метр-это 1/4 платья: 12м=12 х м=12 х (1/4 пл.)=(12 х 1/4)пл.=(12:4)пл.=3пл.

4. Обосновать выбор действия при решении задачи. Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили? Решение: В задаче рассматривается масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в 2 раза больше первой. Масса картофеля складывается из двух масс по 3кг,численное значение массы картофеля можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3х2,получим ответ на вопрос задачи. 3 кг ? М. К.К.

В ТЕОРИЮ

Обоснуйте выбор действия при решении задач: 1) 6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов? 2) Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили? 3) 6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов? Ответ на задачу 1 Ответ на задачу 2 Ответ на задачу 3 ЗАКОНЧИТЬ

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единицы массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы- пакета, причем известно, что 1 пакет- это 2 кг. Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице- пакет, можно представить в таком виде: 6кг=6 х кг=6 х (1/2 пак.)=(6 х 1/2)пак.=(6:2)пак. Вернуться к задачам

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 3 х 2 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи. Вернуться к задачам

В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получится число, которое находим разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи. ЗАКОНЧИТЬ