Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся а и с скрещивающиеся

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой Дано: а b и а с. Доказать: b c. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с, то АМС =90° Т.к. а b, а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС, Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с, то АМС =90° Т.к. а b, а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС, АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана. АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а α.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а а 1, а α. Доказать: а 1 α Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а 1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: aα, bα (а) Доказать : a b.Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 α. Докажем,что прямая b 1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано,что a b.Допустим,что прямые b и b 1 не совпадают. Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, ab. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а р, а q, р и q лежат в плоскости α. р q = О. Доказать: а α Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL- равнобедренный и l а. Т.к. l m, l а, то m а. Итак а α. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а 1 а. По лемме а 1 р и а 1 q, поэтому а 1 α. Отсюда, а α. Теорема доказана. Теорема доказана.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. 1) Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с b по по построению и с а, так как (β α). 2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с 1 с, что невозможно, т. к. прямые с 1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

Авторы: Александрова Аня 10Б Васильева Катя 10Б Васильева Надя 10Б Гаврилова Настя 10Б Егорова Люда 10Б Научный консультант : учитель математики Научный консультант : учитель математики СОШ 6 г.Чебоксары СОШ 6 г.Чебоксары Маркова З.Г. Маркова З.Г. 2008г 2008г