Уравнения с одной переменной. Цель :выявить связь между теорией и практикой при решении уравнений с одной переменной. Задачи: -провести анализ полученной информации; -определить способы решения уравнений; -установить взаимосвязь теории с практикой.

4х и 5х+2 При х=1 4*1 = 5*1+2 – ложное При х = -2 4*(-2) = 5*(-2)+2 – истинное

Определение: Пусть f (x) и g (x) - два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f (x) =g (x) называется уравнением с одной переменной.

Примеры. 4х =5х+2 Х Є R 4х =5х+2 Х Є R только при х = -2 – истинное числовое равенство. (х-1)(х+2)=0. Х Є R (х-1)(х+2)=0. Х Є R при х =1 и х =-2 – истинное числовое равенство. (3х+1)2=6х+2, 6х+2=6х+2, Х Є R (3х+1)2=6х+2, 6х+2=6х+2, Х Є R Решением является множество действительных чисел.

Равносильность уравнений. Определение: Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны. Определение: Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны. Теорема 1: Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h (x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f (x) = g (x) (1) f (x)+ h (x)= g (x)+ h (x) (2) равносильны на множестве Х Теорема 1: Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h (x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f (x) = g (x) (1) f (x)+ h (x)= g (x)+ h (x) (2) равносильны на множестве Х

Доказательство: Т 1 – множество решений уравнения (1), Т 2 - множество решений уравнения (2). Т 1 – множество решений уравнения (1), Т 2 - множество решений уравнения (2). Пусть а – корень уравнения (1). Тогда а Т 1. Пусть а – корень уравнения (1). Тогда а Т 1. f (а) = g (а) – истинное. + h (а) f (а) = g (а) – истинное. + h (а) f (а)+ h (а)= g (а)+ h (а) – истинное. f (а)+ h (а)= g (а)+ h (а) – истинное. Значит а – является также и корнем уравнения (2). Т.е. Т 1 Т 2. Значит а – является также и корнем уравнения (2). Т.е. Т 1 Т 2. Пусть теперь в – корень уравнения (2).Тогда в Т 2 Пусть теперь в – корень уравнения (2).Тогда в Т 2 f (в)+ h (в)= g (в)+ h (в) – истинное. - h (в) f (в)+ h (в)= g (в)+ h (в) – истинное. - h (в) f (в) = g (в) – истинное. f (в) = g (в) – истинное. Значит в – является также и корнем уравнения (1). Т.е. Т 2 Т 1. Значит в – является также и корнем уравнения (1). Т.е. Т 2 Т 1.

Следствия: 1.Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. 2.Если какое- либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2: Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h (x) - выражение, определенное на том же множестве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнение f (x) = g (x) и f (x)*h (x)= g (x)*h(х) равносильны на множестве Х. Следствие: Если обе части уравнения умножить ( или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное исходному.

Пример 1: 1- = 1- = = 6 - 2х = х 6 - 2х = х 6 = х + 2х 6 = х + 2х 6 = 3х 6 = 3х х = 2 х = 2 х х 6 х 6 х 6

Пример 2: х(х-1) = 2х : х х(х-1) = 2х : х х– 1 = 2 х– 1 = 2 х = 3 х = 3 х = 0 – потерян. х = 0 – потерян. Правильное решение: Правильное решение: х(х- 1)- 2х =0 х(х- 1)- 2х =0 х(х– 1- 2) =0 х(х– 1- 2) =0 х = 0 или х- 3 =0 х = 0 или х- 3 =0 х = 3 х = 3

Пример 3: = 0 = 0 х +2 0 и х х – 15 = 0 х = 3 – посторонний корень. 5х - 15 (х +2)(х – 3)