Применение свойств квадратичной функции Алексеевский Сергей МБОУ «СОШ 2 ст. Архонская»

Задачи на определение числа корней квадратного уравнения. П р и м е р 1. Имеет ли корни уравнение 1716х 2 – 5321х = 0? Решение. D = – 4 · 1716 · 3248 > 5000 · 5000 – – 4 · 1750 · 3250 = 5000 · 5000 – 2 · 1750 · 2 · 3250 = = – 3500 · 6500 = = – > 0. Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Рассмотрим функцию f(х) = 1716х 2 – 5321х Пусть х = 1, тогда f(х) = 1716 – < – 5321 < 0. Это означает, что парабола опускается ниже оси х. Поэтому она пересекает ось х в двух точках, а значит, данное уравнение имеет два корня.

П р и м е р 2. Сколько корней имеет уравнение (х – 100)(х – 101) + (х – 101)(х – 102) + (х – 102)(х – 100) = 0? Решение. Раскроем скобки в левой части и представим её в виде квадратного трехчлена с положительным коэффициентом при х 2. Обозначим этот трехчлен через f(х). Найдем f(101): f(101) = – 1 < 0. Таким образом, трехчлен f(х) может принимать отрицательные значения. Так как коэффициент при х 2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, т. е. данное уравнение имеет два корня.

Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой. П р и м е р 3. Докажем, что один из корней уравнения 52х 2 – 70х + 15 = 0 больше 1, а другой меньше 1. Решение. Докажем, что число 1 лежит между корнями данного уравнения. Возьмем функцию f(х) = 52х 2 – 70х + 15 и найдем f(1): f(1) = 52 – < 0. Функция у = f(х) может принимать отрицательные значения. Таким образом, график функции f(х) парабола, ветви которой направлены вверх и которая опускается ниже оси х. Отрицательные значения эта функция принимает в промежутке между корнями. Так как f(1) < 0, то х 1 < 1 < х 2.

П р и м е р 4. Установить, как на координатной оси расположены числа: а) х 1, х 2, 0, 1, если х 1 и х 2 – корни квадратного трёхчлена f(х) = 10х 2 – 18х – 17 и х 1 < х 2. Р е ш е н и е. а) Очевидно, что f(0) = – 17 < 0, ветви параболы направлены вверх. Так как f(1) < 0, то число 1 х 1 0 х 2 х так же, как и число 0, расположено между корнями квадратного трехчлена. Таким образом, х 1 < 0 < 1 < х 2.

П р и м е р 4. Установить, как на координатной оси расположены числа: б) х 1, х 2, – 10, – 1, если х 1, х 2 – корни квадратного трёхчлена f(х) = – 12х 2 – 23х + 27 и х 1 < х 2. Р е ш е н и е. б) Число f( – 1) больше 0, ветви параболы направлены вниз, f(10) = – 943 < 0, значит, х 1 – 1 х 2 х число – 10 расположено левее меньшего корня. Итак, – 10 < х 1 < – 1 < х 2.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции. П р и м е р 5. Мяч подброшен вертикально вверх. Зависимость высоты мяча над землей h (м) от времени полета t (с) выражается формулой h = – 5t t + 1,5. На какую максимальную высоту поднимется мяч? Р е ш е н и е. Траектория полёта представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, своего наибольшего значения она достигнет в вершине параболы, т. е. решение задачи свелось к нахождению координат вершины параболы: t = (с), h = – ,5 = 6,5 (м). О т в е т: 6,5 метра.

П р и м е р 6. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = – 5t t, где h высота в метрах, t время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 м. Р е ш е н и е: Решим неравенство: – 5t t 28, 5t t – 28 0, D = 961, t 1 = 0,8, t 2 = 7. На высоте не менее 28 метров, камень находился 7 – 0,8 = 6,2 секунды. О т в е т: 6,2 с.

П р и м е р 7. Брандспойт, закреплённый под определённым углом на пожарной машине, выстреливает струю воды с постоянной начальной скоростью. Высота струи воды описывается формулой у = ах 2 + bх + с, где постоянные параметры. На каком максимальном расстоянии в метрах от забора нужно поставить машину, чтобы вода перелетала через верх? Высота забора равна 19 м. Решение. Рассуждая аналогично, составим неравенство и решим его: – х х , х 2 – 180х , (х – 30)(х – 150) 0, 30 х 150. Наибольшее расстояние равно 150 метров. О т в е т: 150 м.