Числовые последовательности Устинова Н.Г., лицей 1.

В сберегательном банке по номеру лицевого счета вкладчика можно легко найти этот счет и посмотреть, какой вклад на нем лежит. Пусть на счете 1 лежит вклад рублей, на счете 2 - рублей и т.д. Получается числовая последовательность: где N – число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число.

Числоназывают первым членом последовательности - вторым членом последовательности и т.д. - n-ым членом последовательности

Примеры числовых последовательностей 1. Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, ?, 10, … 2n,… 2.Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, …..,,…

Виды последовательностей: 1. Конечные: Пример: последовательность положительных двузначных чисел: 10,11,12,….98, Бесконечные: Пример: положительные четные числа: 2,4,6,8,10,…

Способы задания числовых последовательностей: 1. Перечислением ее членов: 1, 3, 5, 7, 9. – последовательность нечетных однозначных чисел. 2. Формулой n-ого члена последовательности: 2, 4, 6, 8, …2n,… -1, 1, -1, 1, -1, 1,… 5, 5, 5, 5,… 3.Формулой, выражающей любой член последовательности через предыдущий, зная один или несколько первых членов – реккурентный способ: 11, 1, 11, 21, 31, 41,…

Рассмотрим последовательность: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25,29,… Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Т.е. последовательность – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие: d – разность арифметической прогрессии

Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии: По определению арифметической прогрессии: - формула n-ого члена арифметической прогрессии

Нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии: Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через Запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания: Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна (1) (2) Число таких пар равно n.

(1) (2) Сложив почленно равенства (1) и (2), получим: Разделив обе части равенства на 2, получим: - формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Если задан первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, где вместо стоит выражение