Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов вида При непосредственном вычислении потребуется выполнить большое число операций умножений и п сложений

Теорема Безу Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению этого многочлена при Доказательство:, где – многочлен степени на единицу меньшей, чем Найдем значение при что и требовалось доказать Пусть

Рассмотрим более простой метод деления многочлена на линейный двучлен Представим многочлен в виде, где или

Раскрывая скобки в последнем равенстве имеем После приведения подобных членов имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим равенства или

Вычисления удобно располагать по следующей схеме (называемой схемой Горнера): … … … Этот метод требует n умножений и n сложений.

Вычисление значений аналитической функции

Действительная функция f(x) называется аналитической в точке если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора): При получаем ряд Маклорена

Разность называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора

Как известно, где В частности, для ряда Маклорена имеем где Имеются также другие формы остаточных членов.

Вычисление значений показательной функции Для показательной функции справедливо разложение Остаточный член ряда имеет вид

Приближенное вычисление для малых x удобно вести, пользуясь следующей рекуррентной записью: (k = 1, 2, …, n), где Число приближенно дает искомый результат.

Для остатка ряда может быть получена следующая оценка: при Поэтому процесс суммирования может быть прекращен, как только очередной вычисленный член ряда будет по модулю меньше заданной допустимой погрешности:, если только Для больших по модулю значений x этот ряд мало пригоден для вычислений

Вычисление значений логарифмической функции Пользуемся разложением по степеням Пусть x – положительное число. Представим его в виде где m – целое число и

Тогда, полагая, получим где

Обозначив получаем рекуррентную запись, Процесс суммирования прекращается, как только выполнится неравенство где – допустимая погрешность.

Вычисление значений синуса и косинуса. Для вычисления значений функций и пользуемся степенными разложениями

Эти ряды при больших x сходятся медленно, но, учитывая периодичность функции и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка

При этом можно использовать следующие рекуррентные формулы:

Так как в промежутке ряд знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка

Аналогично для ряда Следовательно, процесс вычисления и можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности