Теория вероятностей, 9 класс.

Статистическое определение вероятности Вероятность как предельное значение частоты.

Вариант 1Вариант 2Вариант 3Вариант 4 1. На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога? 1. В коробке 24 карандаша, из них 3 красного цвета. Из коробки наугад вынимается карандаш. Какова вероятность того, что он красный? 1.В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша? 1.В вазе 7 цветков, из них 3 розы. Из букета наугад вынимается цветок. Какова вероятность того, что это роза? 2. В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым? 2. Из чисел от 1 до 25 наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что оно окажется кратным 5? 2. В корзине лежат 5 яблок и 3 груши. Из корзины наугад вынимается один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко? 2. В корзине 10 яблок, из них 4 червивых. Какова вероятность того, что любое взятое наугад яблоко окажется не червивым? Самостоятельная работа

ПРОЕКТ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Ошибка Даламбера. Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами! Жан Лерон Даламбер ( )

Ошибка Даламбера. Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку». Из них благоприятными будут два исхода. Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут два исхода.

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Перечислите все равновозможные исходы. Какой вариант решения правильный: Правило: природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы. 1-ый вариант: 3 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «перчатки на разные руки». 2-ой вариант: 4 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «первая перчатка на левую руку, вторая на правую», 4) «первая перчатка на правую руку, вторая на левую».

Вывод: Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса: 1.Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще? 2.Как найти числа т и п и убедиться в том, что они найдены верно?

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 1: А можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Опыт человечества. Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара. Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким- то образом связана с частотой.

Частота случайного события. Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов называется число N A, которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.

Частота случайного события. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов: где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в N A случаях.

Примеры Пример 1. Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Ответ: 0,515

Примеры Пример 2. Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? Ответ: 0,728; 0,272. Ответ: 0,728; 0,272.

Примеры Пример 3. Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий. Ответ: 0,005

Примеры Пример 4. Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальные всходы. Найдите частоту нормального всхода семян. Ответ: 0,98

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 2: Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

Проверка Пример 5. Пример 5. Подбрасывание монеты. А – выпадает герб. Классическая вероятность: всего 2 исхода, 1 исход события А:

Проверка Пример 5. Пример 5. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: Жорж Бюффон

Проверка Пример 5. Пример 5. Английский математик Карл Пирсон ( ) бросал монету раз, причем герб выпал раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: Карл Пирсон

Результаты Вывод Пример 5 подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

Статистическая вероятность Вероятность случайного события Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов:, где - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний.

Задача 1. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу: Породы Сосна Дуб Береза Ель Осина Всего Число деревьев Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет: а) сосной; б) хвойным; в) лиственным. Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Задача 1. Решение: 0,416 а) A={ выбранное наугад в парке дерево - сосна } N А = 315, N = 757, Р(А) = 315/757 0,416; 0,505 б) В ={ выбранное наугад в парке дерево - хвойное } N А = = 382, N = 757. Р(А) = 382/757 0,505; 0,495 в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное} N А = = 375, N = 757. Р(А) = 375/757 0,495.

По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение: 3/1000 = 0,003 0,997 1 – 0,003 = 0,997 Задача 2.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. в скольких случаях из рождений можно ожидать появление близнецов? Решение: Ответ: в 120 случаях. Ответ: в 120 случаях. Задача 3.

Вопросы: 1.Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. 2.Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. 3.Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? 4.Чему равна частота достоверного события? 5.Что такое абсолютная частота? относительная частота? 6.Как частота связана с вероятностью? 7.После 100 опытов частота события А оказалась равна 0, а частота события В равна 1. Можно ли сказать, что событие А невозможное, а событие В – достоверное?

Домашнее задание. Задача 1. Задача 1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий? Задача 2. Задача 2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу: Цвет волос Брюнеты Шатены Рыжие Блондины Всего Число людей Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: а) шатеном; б) рыжим; в) не рыжим.