Четыре замечательные точки треугольника

Теорема 1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон 1. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон угла, лежит на его биссектрисе. 1 т.е равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.

Доказательство АМК = АМL (т. к. АМ - общая гипотенуза, МК = МL) ВАМ = МАС луч АМ- биссектриса ВАС В L К М С А 1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе ВАС МК АВ, МL AC. МК = МL (т.к АМК = АМL по гипотенузе и острому углу). 2) Точка М лежит внутри ВАС и равноудалена от его сторон АВ, АС.

Следствие Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О - точка пересечения биссектрис АА 1, ВВ 1 АВС. А В С М В1В1 С1С1 К А1А1 L О Проведем ОК АВ, ОL ВС, ОМ СА. ОК = ОМ и ОК = ОL ОМ = ОL. т.е точка О равноудалена от сторон АВС О биссектрисе СС 1 этого угла, ВВ 1 СС 1 АА 1 = О

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. А В а

Теорема 2 Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство 1) Прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВ. М А В О m N AB O m Точка О - середина этого отрезка. Докажем, что АМ = МВ. АМО = МОВ (по двум катетам) АМ = МВ 2) Точка N равноудалена от концов отрезка. Докажем, что точка N лежит на прямой m. АNВ - равноб. (т.к АN = NВ). NО - медиана и высота NO АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е N- точка прямой m.

Следствие Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: m ВА, n ВС. В А С О n m р По теореме о серединном перпендикуляре ОВ = ОА и ОВ = ОС ОА = ОС Т.е точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку перпендикуляры m, n и p пересекаются в точке О.

Теорема 3 Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство Проведем через каждую вершину АВС прямые: С 2 В 2 II ВС, С 2 А 2 II АС, А 2 В 2 II АВ. Получим А 2 В 2 С 2. В С2С2 В2В2 А С А2А2 В1В1 С1С1 А1А1 Точки А, В и С являются серединами сторон А 2 В 2 С 2 АВ = А 2 С и СВ 2 = АВ как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 А 2 С = СВ 2. Аналогично С 2 А = АВ 2 и С 2 В = ВА 2 СС 1 А 2 В 2, АА 1 В 2 С 2 и ВВ 1 А 2 С 2 АА 1 С 2 В 2, ВВ 1 СС 2 и СС 1 В 2 А 2 они пересекаются в одной точке.

Задача 1 В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, АС = ВС = АВ, ВМ = МС. По условию задачи АОС = ВСО и АС = ВС, т. е. отрезок СО является биссектрисой равнобедренного треугольника, а поэтому она является также медианой и высотой. Следовательно, прямая СО проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку, т. е. является серединным перпендикуляром к стороне АВ. Т С А В М О ВТ АС, АОС = ВСО. Какая из прямых СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС. Решение

Задача 2 Биссектрисы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если АВМ = А В С А1А1 С1С1 М Решение 1) Проведём СС 1 АВ. В1В1 2) Рассмотрим АСС 1 = ВСС 1 (по гипотенузе и острому углу.) А = В = ) А+ В+ С = (по теореме о сумме углов.) C = )Точка М- равноудалена от вершин АВС. АА 1 и ВВ 1 - биссектрисы СС 1 является биссектрисой и они пересекаются в одной точке М ВСМ = АСМ = 18 0