Решение квадратных уравнений различными способами Ученик 8 б класса Шаяхметов Руслан Учитель: Матвеева С.Н.

1. Определение квадратного уравнения, его виды : Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с- некоторые числа, причем, а 0.

Неполные квадратные уравнения 1) ах2 + с = 0, где с 0; 2) ах2 + bх = 0, где b 0; 3) ах2 = 0.

Из истории квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +вх=с, а 0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв. В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Различные способы решения квадратных уравнений 1. Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.

Разложение левой части уравнения на множители Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х + 6х – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат.

Решение квадратных уравнений по формуле Х1,2 =

4х + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1 Х=, х 2 = –1 х1 =

4х – 4х + 1 = 0, а =4, b = - 4, с = 1. D = b – 4ас= 16 – 441 = 0, D = 0, один корень; Х=

2х +3х + 4 = 0 а =2, b= 3, с = 4 D = b – 4ас=9 – 424 =9 – 32 = - 13 D < 0. Уравнение не имеет корней.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Теорема Виета для квадратного уравнения ах +вх +с = 0 имеет вид

Примеры Решить уравнение х – 9х + 14 =0 Попробуем найти два числа х и х, такие, что х +х = 9,х х = 14 Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Решение уравнений способом «переброски» Умножая обе его части на а, получаем уравнение а х + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у и у найдем с помощью теоремы Виета.

Примеры Решим уравнение 2х – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета

Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 =. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –

Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =. lРешим уравнение 132х + 247х = 0 Т. к. а-b+с = 0 (132 – =0), то х1= - 1, х2= -

Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде Х =

Графическое решение квадратного уравнения Решим графически уравнение х – 3х – 4 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х = 3х + 4. Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.

у=х2 у у=-3х х

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах + bх + с = 0 и проходит через точки А (0;1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВОD = ОА ОС откуда ОС =.

у C(0, ) А(0; 1) В(х1, 0) D(х2, 0) S(

Решим графически уравнение х – 2х – 3 = 0. Определим координаты точки центра окружности по формулам Х=- У= = Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

Ответ: х1 = – 1, х2 = 3 у А -1 3 х S(1,-1)

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Примеры 1.Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0. Номограмма дает корни z1 = 8, 0 и z2 = 1, 2.Решим с помощью номограммы уравнение 2 z – 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты Этого уравнения на 2, получим уравнение z – 4, = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.