1 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

2 Численные методы Автор курса лекций: Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ Екатеринбург 2008 решения задач механики сплошных сред 4. Вязкая среда. Метод подобия и анализ размерностей

3 Модуль 3 ВЯЗКАЯ СРЕДА Численные методы…Лекция 15

4 Лекция 15 Движение среды между двумя вращающимися цилиндрами. Обтекание шара медленным потоком вязкой среды Численные методы…Лекция 15

2 5 Цели изучения: Определение коэффициента динамической вязкости с помощью метода квазистационарного потока при истечении среды из сосуда через капилляр с известными геометрическими параметрами. Установление основных законов движения несжимаемой вязкой среды между двумя вращающимися цилиндрами. Решение задачи Стокса (обтекание шара медленным потоком вязкой среды). Определение коэффициентов динамической и кинематической вязкости Численные методы…Лекция 15

6 Содержание Определение коэффициента динамической вязкости методом потока Движение среды между двумя вращающимися цилиндрами 8.4. Медленное обтекание шара потоком вязкой несжимаемой среды: Решение уравнения Навье-Стокса Распределение скорости в поле течения около шара Распределение давления в поле течения около шара Распределение давления по поверхности шара. Формула Стокса Численные методы…Лекция 15

Определение коэффициента динамической вязкости методом потока Формула Пуазейля может быть использована для измерения коэффициента динамической вязкости среды. Согласно формуле (8.3.19) для вычисления коэффициента динамической вязкости среды необходимо измерить её секундный массовый или объемный расход, значения радиуса трубы и градиента давления, поставив эксперименты следующим образом.Пуазейля 1. Пусть в сосуде 1 (рис. 8.5) налита жидкость, коэффициент динамической вязкости которой необходимо измерить. Эта жидкость может вытекать из сосуда 1 через тонкий капилляр 2 в сосуд 3. Если пренебречь изменением уровня жидкости в сосуде 1, перепад давления на концах капилляра будет равен гидростатическому давлению жидкости на входе в капилляр, т.е. Р 1 -Р 0 = ΔP. Если это давление разделить на длину капилляра, то получим dP/dz = -ΔP/l. Далее, зная время (по секундомеру) и объем жидкости, поступающей за это время в сосуд 3, можно найти секундный массовый или объемный расход. Измеряя радиус капилляра и воспользовавшись формулой Пуазейля (8.3.19), можно вычислить коэффициент динамической вязкости жидкости. Рис.8.5

8 Коэффициент динамической вязкости Следует заметить, что расход жидкости пропорционален r 0 4, а, следовательно, ошибка измерения коэффициента η за счёт ошибки измерения радиуса увеличивается в 4 раза. Если объем исследуемой жидкости ограничен, то нетрудно при решении задачи учесть изменение уровня жидкости в сосуде При не слишком точных относительных измерениях вязкости капельных жидкостей сосуды и капилляр располагают по вертикали (вискозиметр Энглера) и определяют расходы эталонной Q э и исследуемой Q ж жидкостей. Тогда коэффициенты динамической вязкости эталонной и исследуемой жидкостей будут относиться как обратное отношение их секунднхые расходов, т.е. Q Э /Q Ж = η Ж /η Э. Зная коэффициент динамической вязкости эталонной жидкости из каких-либо других точных измерений, можно определить коэффициент динамической вязкости исследуемой жидкости. Этот метод широко используется для экспресс-контроля в различных технологических процессах плавки металлов с заданными свойствами, а также в химических производствах. 3. Коэффициент динамической вязкости газов может быть также измерен следующим образом. Предположим, что имеется два сосуда, содержащих один и тот же газ и соединенных тонким капилляром (рис. 8.6). Пусть объемы сосудов равны V 1 и V 2, температура газа T предполагается неизменной. Предположим, что каким-либо способом увеличили давление в сосуде V 1 при закрытом запирающем устройстве. Если капилляр открыть, газ будет перетекать из сосуда 1 в сосуд 2 до тех пор, пока давления в сосудах не выровняются.

9 Если через Q m обозначить массовый поток через сечение капилляра, то можно записать следующие уравнения баланса: (8.3.20) Здесь знаки (-) и (+) означают, что газ из объема V 1 вытекает, а в объем V 2 втекает. После вычитания в (8.3.20) из первого уравнения второго и использования определения (8.3.19) для Q m можно легко получить: (8.3.21) Измерение разности давлений между сосудами Найдем закон изменения разности давлений между сосудами с течением времени. В соответствии с законом Клапейрона уравнение состояния для идеального газа можно записать в видеКлапейрона где - масса моля газа, а G есть масса газа, занимающего объем V при давлении P. В произвольный момент времени масса газа в объемах V 1 и V 2 при соответствующих давлениях Р 1 и Р 2 равна:

10 Определение коэффициента динамической вязкости из релаксационной зависимости разности давлений между объемами Здесь есть средняя плотность газа при среднем давлении, dP/dz есть градиент давления, равный –ΔP/l, где l - длина капилляра, V пр = V 1 V 2 /(V 1 + V 2 ) - приведенный объём. Решение линейного однородного дифференциального уравнения (8.3.21) дает следующую зависимость для разности давлений: (8.3.22) Таким образом, измеряя временную зависимость разности давлений между двумя сосудами, соединенными капилляром, можно по формуле (8.3.22) определить показатель экспоненты. Зная размеры капилляра, величину объемов и среднее давление, можно вычислить коэффициент динамической вязкости газа. Вышеописанные идеи экспериментов являются наиболее распространенными в технике измерения вязкости жидкостей и газов.

Движение среды между двумя вращающимися цилиндрами Рассмотрим установившееся движение несжимаемой вязкой изотермической среды между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. Будем считать цилиндры неограниченно длинными настолько, что краевыми эффектами можно пренебречь. Пренебрегаем также действием силы тяжести. Пусть цилиндры радиусами R 1 и R 2 (R 1 > R 2 ) вращаются с угловыми скоростями ω 1 и ω 2 соответственно (рис. 8.7). При решении задачи естественно воспользоваться цилиндрической системой координат. Используя интуитивные гипотезы, предположим: (8.3.23) Рассматривая уравнение движения в цилиндрических координатах (8.3.15) при заданной топологии течения, получим: (8.3.24) Следует заметить, что как первое, так и второе уравнение для определения скорости не содержат коэффициента динамической вязкости η. Решение второго уравнения системы (8.3.24) имеет следующий вид: (8.3.25)

12 Решение уравнения движения Граничные условия для определения постоянных можно записать следующим образом: Постоянные a и b в (8.3.25) могут быть найдены из системы уравнений: Решение этой системы уравнений по правилу Крамера приводит к следующим константам: (8.3.26) Так как распределение скорости υ φ в зазоре между цилиндрами не зависит от коэффициента динамической вязкости, то такое распределение может иметь и идеальная среда, не обладающая вязкостью по определению. Проанализируем полученное решение. 1. Если ω 1 = ω 2 = ω (вращение цилиндров в одну сторону), то υ φ = ωr, т.е. среда в зазоре вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью, равной скорости вращения цилиндров. Как показано выше, такое вращение среды является непотенциальным, вихревым движением. 2. Если ω 2 = 0, R 2, то υ φ = ω 1 R 1 2 /r. Как было установлено выше, циркуляция скорости по любому контуру, не охватывающему цилиндр, равна нулю. Циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему цилиндр, равна: Г = 2πrυ φ = 2πω 1 R 1 2. Очевидно, во всех плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, движение среды одинаково и является плоским. Как было определено выше, такое движение называют плоским вихрем, и движение в нём безвихревое, потенциальное. Таким образом, движение вязкой несжимаемой среды, покоящейся на бесконечности, является потенциальным во всех точках объема вне цилиндра.

13 При неслишком больших скоростях набегающего потока и угловой скорости цилиндра подъемная сила, возникающая при обтекании цилиндра с циркуляцией, может быть определена следующим образом: Направление подъемной силы и её величина определяются значениями как скорости набегающего потока, так и направлением угловой скорости вращения цилиндра. При прочих равных условиях величина подъемной силы пропорциональна квадрату радиуса цилиндра. Распределение давления в зазоре между цилиндрами можно определить из первого уравнения системы (8.3.24): Постоянная с может быть определена из граничных условий: при r = R 1, P = P 1 или при r = R 2, P = P 2. Если ω 1 = ω 2 = ω, то υ φ = ωr и распределение давления в зазоре имеет вид:, при r = R 1, P = P 1. Определим распределение давления в газе, вращающемся вместе с цилиндром радиуса R 0 с угловой скоростью ω и линейной скоростью на расстоянии r от оси вращения, равной υ φ = ωr. Для сжимаемого газа, вращающегося в цилиндре радиуса R 0, массовая плотность в поле вращения зависит от радиуса ρ = ρ(r). Распределение давления

14 Поэтому в первом уравнении системы (8.3.24) с граничным условием P(r = R 0 ) = P 0 массовую плотность необходимо определить через давление и температуру из термического уравнения состояния P/ρ = RT. Решение этого уравнения даёт следующее распределение давления: Определим момент М 1 сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра: Подставляя значение υ φ (8.3.25) и дифференцируя, получим: Тогда момент сил трения определяется по формуле: (8.3.27) Очевидно, на единицу длины внешнего цилиндра действует такой же момент сил трения, но с обратным знаком. Момент сил трения

15 Метод вращающегося цилиндра опеделения коэффициента вязкости На основе полученного точного решения можно организовать опыт, позволяющий определить коэффициент динамической вязкости среды методом вращающегося цилиндра (рис. 8.8). Определяя момент сил трения по углу закручивания (зависящему от упругих свойств материала) нити 1, на которой подвешен неподвижный внутренний цилиндр 2, по формуле (8.3.27) можно определить коэффициент динамической вязкости среды. При этом геометрические размеры цилиндров и угловая скорость вращения внешнего цилиндра должны быть известны. Существенную конструктивную трудность такой установки представляет устранение влияния торцов цилиндров, так как точное решение, полученное выше, справедливо лишь для бесконечных цилиндров. Рис.8.8

Медленное обтекание шара потоком вязкой несжимаемой среды Решение уравнения Навье-Стокса Пусть неподвижный шар радиусом r 0 обтекается вязкой несжимаемой средой со скоростью u на бесконечности в отсутствии внешних сил. Движение будем считать изотермическим и стационарным, тогда уравнение движения имеет вид: (8.4.1) Оценим порядок слагаемых этого уравнения. Скорость набегающего потока u уменьшается до нуля на поверхности шара на расстоянии, равном приблизительно диаметру шара. Поэтому имеем: Если безразмерное отношение ρud/η = Re будет значительно меньше единицы, то в уравнении движения слагаемым (υ )υ можно пренебречь по сравнению с остальными слагаемыми. Это безразмерное отношение называют числом Рейнольдса (Re). Очевидно, число Рейнольдса показывает во сколько раз инерциальные силы в среде больше вязких сил.Рейнольдса Таким образом, если Re

17 Аксиальный вектор будем искать в виде: (8.4.5) В выражении (8.4.5) f 1 (r) есть произвольная функция модуля r радиуса-вектора r, n - единичный вектор направления радиуса-вектора r. Будем искать функцию f 1 (r) в форме производной по r некоторой функции f(r), т.е. (8.4.6) По условию задачи (рис. 8.9) имеется два полярных вектора: радиус-вектор r точки наблюдения на линии тока и вектор u скорости набегающего потока. Добавка является также полярным вектором. Поэтому вектор A должен быть аксиальным вектором, так как ротор аксиального вектора является полярным. Постановка задачи Представим скорость движения индивидуальной частицы среды в виде суммы двух составляющих, т. е., имея в виду, что добавка обращается в нуль на бесконечности. Из условия несжимаемости среды имеем:, так как Поэтому добавка может быть представлена в виде, так как. Уравнение (8.4.3) преобразуется к виду: (8.4.4)

18 Из векторной алгебры известно, что Вектор скорости набегающего потока u постоянный, поэтому (8.4.7) Учитывая (8.4.6), (8.4.7), вектор A (8.4.5) можно записать в виде: (8.4.8) После подстановки (8.4.8) в (8.4.4) имеем: (8.4.9) Если воспользоваться известными соотношениями из векторной алгебры вида rotrot = div – Δ, то из (8.4.9) с использованием (8.4.8) следует: (8.4.10) Применим операцию двойного лапласиана к i-ой компоненте вектора в (8.4.10) и запишем это уравнение в тензорном виде: (8.4.11) Так как, u 0, то уравнение (8.4.10) можно записать в общем виде: ΔΔf(r) = 0, ΔΔf(r) = const. (8.4.12) Очевидно, постоянную в правой части последнего уравнения необходимо положить равной нулю. Действительно, конечной целью решения является определение скорости υ как функции координат. Нахождение аксиального вектора

19 Уравнение для f в сферических координатах Но, согласно определениям и вектора A (8.4.8), добавка к скорости определяется только вторыми производными от f по координатам, тогда как для нахождения f согласно уравнению (8.4.12) предстоит проинтегрировать f по координатам четыре раза, т.е. f будет пропорционально r 4. Поэтому, если постоянную в (8.4.12) не полагать равной нулю, то добавка стремиться к бесконечности при r, что противоречит её определению. Тогда в сферических координатах уравнение (8.4.12) имеет вид: Интегрируя это уравнение, получим: (8.4.13) Здесь знак (-) и коэффициент 2 в константе интегрирования выбраны для удобства. По приведенным выше соображениям постоянную с также следует положить равной нулю. Следующее интегрирование приводит к результату: (8.4.14) Постоянная интегрирования d может быть принята равной нулю, так как скорость определяется производными по координатам, поэтому постоянная интегрирования несущественна.

Распределение скорости в поле течения около шара Используя определение скорости движения частиц среды, имеем: (8.4.15) Поскольку u - постоянный вектор, то, используя (8.4.13), третье слагаемое в (8.4.15) преобразуем к виду: Аналогично преобразуем второе слагаемое в (8.4.15): После подстановки полученных выражений в (8.4.15) и группировки соответствующих слагаемых вектор скорости потока в точке r поля течения равен: (8.4.16) Постоянные a и b должны быть определены из граничных условий на поверхности шара:

21 Таким образом, компоненты υ θ и υ r скорости движения индивидуальной частицы при медленном обтекания шара потоком вязкой несжимаемой среды определяются соотношениями: (8.4.18) На поверхности шара в любой точке υ θ = υ r = 0, а, следовательно, и υ = 0 в соответствии с граничными условиями. Так как вектор скорости среды должен быть равен нулю в любой точке на поверхности шара (r = r 0 ), т.е. при любой ориентации нормального единичного вектора n, то, следовательно, должны обращаться в нуль в отдельности коэффициенты при векторах u и (u·n)n в выражении (8.4.16): Решение этой системы уравнений приводит к результату: (8.4.17) Очевидно, что картина обтекания шара (рис. 8.10) имеет полярную симметрию, поэтому υ φ = 0. Компоненты скорости υ θ и υ r могут быть найдены из (8.4.16) и (8.4.17), и они равны: Анализ решений.

22 Для определения силы, действующей на шар со стороны движущейся среды, возвратимся к исходному уравнению (8.4.2) (8.4.19) Согласно определению скорости υ имеем: После подстановки этого определения в (8.4.19) имеем: (8.4.20) Поскольку в соответствии с (8.4.12) ΔΔf = 0, то из (8.4.20) следует: (8.4.21) После интегрирования данного уравнения по r и выбора в качестве произвольной постоянной интегрирования давление среды P 0 в набегающем потоке вдали от шара, находим давление : Но, так как divu = 0. Поэтому имеем Принимая во внимание (8.4.13) для f и (8.4.17) для коэффициента a, получим (8.4.23) Формула (8.4.23) позволяет определить давление P в любой точке r поля течения вязкой несжимаемой среды около шара Распределение давления в поле течения около шара

23 На поверхности шара (r = r 0 ) в плоскости наибольшего его поперечного сечения распределение давления имеет вид (P 0 P ) : (8.4.24) распределение давления Для сравнения ниже приведены распределения по поверхности давления Р неподв при обтекании неподвижного цилиндра потоком идеальной несжимаемой среды (7.6.12) и Р двиг для двигающегося с постоянной скоростью цилиндра в неподвижной несжимаемой идеальной среде (7.9.15а):неподвижного цилиндра двигающегося с постоянной скоростью цилиндра В соответствии с определением поверхностная сила F, действующая на шар со стороны движущейся вязкой среды в общем виде и в направлении радиуса-вектора r, определяется следующими интегральными соотношениями: (8.4.25) В качестве произвольного направления действия вязкой силы удобно выбирать направление, совпадающее с направлением скорости набегающего потока u. В этом случае проекции компонентов n r, n θ, n φ нормального единичного вектора n к произвольному элементу поверхности шара dS в (8.4.25) на направление скорости набегающего потока u равны (см. рис. 8.10) (8.4.26) Проекция силы F r на направление скорости u определяет силу сопротивления шара F u в потоке вязкой несжимаемой среды и в соответствии с (8.4.25, 26) она равна (8.4.27) Распределение давления по поверхности шара. Формула Стокса

24 Вычислим значение компонент тензора вязких напряжений и на поверхности шара (r = r 0 ) в сферической системе координат (8.3.14), используя соответствующие компоненты скорости υ r и υ θ (8.4.18): Принимая во внимание, что на поверхности шара (r = r 0 ) υ r = 0 и υ θ = 0, из (8.3.14) и (8.4.18) для имеем: (8.4.27б) После подстановки распределения давления P по поверхности шара (8.4.24) и значений в (8.4.27) получим для F u формулу: Таким образом, при медленном (Re

25 Как показывает опыт, формула Осеена справедлива до чисел Рейнольдса порядка единицы. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса картина обтекания шара существенно изменяется (наблюдается отрыв потока с поверхности с образованием застойной зоны за шаром) и вышеприведенное рассмотрение несправедливо.порядка единицынаблюдаетсяотрывпотока При малых числах Рейнольдса аналогичную задачу можно решить для произвольного эллипсоида и даже диска. Так для тонкого диска, расположенного перпендикулярно и параллельно скорости набегающего потока, сила сопротивления равна (Re

26 Динамическая вязкость газов с увеличением температуры увеличивается в соответствии с законом Динамическая же вязкость жидкостей с увеличением температуры уменьшается. Экспериментальные данные по температурной зависимости коэффициентов динамической вязкости жидкостей хорошо описываются формулой Здесь A, B и C - некоторые эмпирические константы. Для сведения в таблице 3.1 приведены значения коэффициентов динамической и кинематической ν вязкости для некоторых сред при температуре 300К. Следует отметить, что коэффициент динамической вязкости как газов, так и жидкостей не зависит от давления в диапазоне Р < 10 атм. Значения коэффициентов динамической и кинематической ν вязкости Вещество Вода Воздух Спирт Глицерин Ртуть Таблица 3.1

27 Выводы Приведено определение коэффициента вязкости методом квазистационарного потока при истечении среды из сосуда через капилляр с известными геометрическими параметрами. Получены основные законы движения среды между двумя вращающимися цилиндрами. Приведено решение задачи Стокса (обтекание шара медленным потоком вязкой среды). Установлено распределение скорости и давления около обтекаемого шара и на его поверхности. Вычислена вязкая сила Стокса, действующая на шар Получено более точное решение задачи Стокса с учетом нелинейного члена в уравнении движения (уточнение Осеена) Численные методы…Лекция 15

28 Информационное обеспечение лекции Литература по теме: Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.: Наука с. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука Т с.; Т.2, 568с. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ с. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука с Численные методы…Лекция 15

29 Справочные данные Курс лекций является частью учебно- методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда». Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ- УПИ. Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. электронный адрес: