Мнимая единица комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i. Она позволяет расширить поле вещественных(действительных) чисел до поля комплексных чисел.

Мнимая единица некоторое число, квадрат которого равен 1.

Комплексные числа - это пара (a,b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z=(a,b) записывают как z = a + b * i ;

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ biобозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i -мнимая единица. Число a называется абсциссой, b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a -bi называются сопряжёнными комплексными числами.

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи i и 5 – 0 i означают одно и то же число Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi. 3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты. Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i. Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты. Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число: ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i. Это определение вытекает из двух требований: 1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены, 2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1. Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно. (a+bi)/(c+di)=(((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2)))*i

Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.