МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Выполнили: Хальфутдинова Эльвира; Миколюк Наталья, ученицы 11 б класса Ханты – Мансийский автономный округ – Югра Городской округ город Лангепас Муниципальное общеобразовательное учреждение Гимназия 6 г. Лангепас 2008г

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать? Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Помните, что важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

История возникновения софизмов. Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция, VIV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до философов- софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

Математические софизмы алгебраические геометрические арифметические

Алгебраические софизмы. Пусть a = 4, b = 5, c = (a+b)/2. Тогда: a = 2c - b и 2c - a = b Умножим первое на второе, получим a 2 - 2ac = b 2 - 2bc a 2 - 2ac + c 2 = b 2 - 2bc + c2 (a - c) 2 = (b - c) 2 a - c = b - c Откуда a = b, или 4 = 5. Решение1: Софизм 4 = 5

Решение 2: Докажем, что 4 = = ( ) = 5 ( ) Сократим общие множители, получим 4 = 5. Ошибка находится в самом конце, когда мы делили на число ( ), которое равно нулю.

Решение 3: Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части тождества общий множитель: 4 (1:1) = 5 (1:1). Сократим: 4 = 5. Софизм A = B, в то время как A = B + C. Пусть a = b + c. a (a - b) = (b + c) (a - b) a 2 - ab = ab + ac - b 2 - bc a 2 - ab - ac = ab - b 2 - bc a (a - b - c) = b (a - b - c). Откуда a = b. Ошибка и здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (а - b - c), которое равно нулю

Геометрические софизмы. Софизм "Из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра» Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В чем ошибка?

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Арифметические софизмы. «Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, 1 р.=100 коп,10р.=10*100коп. перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.= коп. и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 р. = к., которое после деления на 10 дает 1 р. = коп., а неравенство 1р= к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из последнего равенства, получаем верное равенство 1р.=100 коп.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.