Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости.p n

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол.О Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы к каждой плоскости. Отложим их от точки О. Угол между нормалями равен линейному углу между плоскостями. Убедимся: pn

cos cos = x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 Вычислять угол между векторами мы умеем по формулеО Но! При решении задач мы можем выбрать нормали так, что угол между векторами будет тупой. А угол между плоскостями не может быть тупой. А мы по этой формуле получим cos < 0.pn Как быть в этой ситуации?

- искомый угол между прямой и плоскостью p n - угол между векторами p и n p n Итак, если угол между нормалями острый, то мы сразу получаем угол между плоскостями (формула со знаком «+»). Если угол между нормалями тупой, то чтобы получить косинус острого угла, надо взять полученный косинус со знаком «–». Тогда (уже обосновали) x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 cos cos = А лучше и проще…

1. Нормальный вектор (нормаль) для первой плоскости 1. Нормальный вектор (нормаль) для первой плоскости. 2. Нормальный вектор (нормаль) для второй плоскости 2. Нормальный вектор (нормаль) для второй плоскости. 3. Вычислить cos по формуле Данная формула даст правильный ответ (острый угол между прямыми), даже если вы при решении задачи выберите нормальные векторы так, что угол между ними будет тупой. Алгоритм. Применение скалярного произведения для вычисления угла между плоскостями. 4. Найти угол. Если значение косинуса не табличное, то записать ответ, используя арккосинус. x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 cos cos =

DB 1 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой В 1 D. Значит, В 1 D перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль B 1 D. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD?zx C 1. Нормаль к плоскости АDD 1DC Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

(0; 5; 0) Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Я выбрала очень удобно нормальные векторы. Ведь это радиус-векторы. Координаты радиус-вектора такие же, как и координаты конца вектора. Значит, нам надо найти координаты точек В 1 и С.zx C y ( ; 5; ) DB 1 1. DC 2. ( ; 5; ) (0; 5; 0)

3. DB 1 ( ; 5; ) DC (0; 5; 0) Теперь найдем тангенс. 1 tg tg 2 A 1 cos 2 A т.к. – острый угол

D1BD1BD1BD1B 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1. Значит, ВD 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 3, ВС = 4, АА 1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали ВD 1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 3zx C 1. Нормаль к плоскости АBC DD 1 Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y 4 12 D (0; 0; 12) DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1 DD 1 (0;0;12) (4; 3; 0)(4; 3; 0)(4; 3; 0)(4; 3; 0) Чтобы найти координаты вектора D 1 B, вычтем из конца вектора его начало. D1BD1BD1BD1B ( 4; 3;-12)

DD 1 (0;0;12) D1BD1BD1BD1B ( 4; 3;-12) 12

D1BD1BD1BD1B 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1. Значит, ВD 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD =. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A 1 D 1 перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 12 Расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 ?zx C 1. Нормаль к плоскости АBC DD 1 Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD =. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A 1 D 1 перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 12zx C y 5 (0; 0; 5) ( ; 12; 0) DD 1 DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1 (0; 0; 5) D1BD1BD1BD1B Чтобы найти координаты вектора D 1 B, вычтем из конца вектора его начало. ( ; 12; -5)

DD 1 (0; 0; 5) D1BD1BD1BD1B ( ; 12; -5)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра:, AB = 5, AD = 12, СС 1 = 5. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B 1. C C1C1C1C1 B1B1B1B1 D B D1D1D1D1 A A1A1A1A х yz (12;0;0) В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат. Найдем вектор нормали плоскости AD 1 B 1. Рассмотрим два вектора этой плоскости: (0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)55 (0;5;0)(0;5;0)(0;5;0)(0;5;0) (12;5;5) Получим систему AD 1 (-12;0;5) AB 1 (0;5;5) Пусть вектор нормали n {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, AD 1 n AB 1 n AD 1 n = 0 значит, AB 1 n = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости AD 1 B 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 1, тогда у = –, z = Из (1): «–» (1;– ; ) n Вектор нормали плоскости AD 1 B 1 :

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра:, AB = 5, AD = 12, СС 1 = 5. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B 1. C C1C1C1C1 B1B1B1B1 D B D1D1D1D1 A A1A1A1A х yz (12;0;0) Найдем вектор нормали плоскости CD 1 B 1. Рассмотрим два вектора этой плоскости: (0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)(0;0;5) 5 (0;5;0)(0;5;0)(0;5;0)(0;5;0) (12;5;5) Получим систему CD 1 (0;-5;5) CB 1 (12;0;5) Пусть вектор нормали s {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CD 1 s CB 1 s CD 1 s = 0 значит, CB 1 s = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости CD 1 B 1, бесконечно s много. Выберем из данного множества ненулевой вектор s, положив х = 1, тогда у = –, z = – Из (2): «–» (1;– ;– ) s Вектор нормали плоскости CD 1 B 1 :

(1;– ; ) n (1;– ;– ) s125125

Получим систему (1;0;–1) n Вектор нормали плоскости СDА 1 : Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и CDA 1. C B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A х yz 2 11 (0;2;0) Радиус-вектор имеет такие же координаты, как и его конец.CD(0;2;0) CB 1 (1;0;1) (1;0;1)(1;0;1)(1;0;1)(1;0;1) Найдем вектор нормали плоскости СDА 1. Пусть вектор нормали n {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CDn CB 1 n CDn = 0 значит, CB 1 n = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости СDА 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 1, тогда у = 0, z = – 1

Получим систему (2;1;–2) s Вектор нормали плоскости СD 1 А 1 : Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и CDA 1. C B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A х yz 2 11 (0;2;1) Радиус-вектор имеет такие же координаты, как и его конец. CD 1 (0;2;1) CB 1 (1;0;1) (1;0;1)(1;0;1)(1;0;1)(1;0;1) Найдем вектор нормали плоскости СD 1 В 1. Пусть вектор нормали s {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CD 1 s CB 1 s CD 1 s = 0 значит, CB 1 s = 0 значит, (0;2;0) Из (2) Из (2) Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости СD 1 B 1, бесконечно s много. Выберем из данного множества ненулевой вектор s, положив х = 2, тогда у = 1, z = – 2 «–»

(1;0;–1) n (2;1;–2) s 2

(0;2;2) х yz В правильной четырехугольной призме АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. D А В C A1A1 D1D1 C1C1 B1B части 2 части E 5 F(0;0;5) D1FD1FD1FD1F(0;2;-3) D1ED1ED1ED1E(2;0;-2) (2;0;3)(2;0;3)(2;0;3)(2;0;3) Найдем вектор нормали плоскости ВЕD 1. Пусть вектор нормали n {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, D1FD1FD1FD1Fn D1ED1ED1ED1En D1FD1FD1FD1Fn = 0 значит, D1ED1ED1ED1En = 0 значит, Получим систему Вектор нормали плоскости ВЕD 1 :(2;3;2)n Вектор нормали плоскости АВС:(0;0;1)s Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости BED 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 2, тогда у = 3, z = 2 AA 1 = 5, это – 5 частей, тогда АЕ = 5:5*3 = 3 ЕА 1 = 5:5*2 = 2

(2;3;2)n (0;0;1)s

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра: AB = 8, AD = 6, СС 1 = 6. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B 1.