ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА. Выполнила: Рогачева Маша ученица 8 класса.

A B C D ПАРАЛЛЕЛОГРАММ – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Тема1: Параллелограмм.

Первое свойство параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. A BC D Рассмотрим параллелограмм ABCD диагональ AC делит его на два треугольника ABC и ACD. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по 2 признаку) (AC общая сторона, угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4 т.к накрест лежащие углы при секущей AC и параллельных прямых AB и CD, AD и BC) следовательно AB = CD, AD = BC, угол B равен углу C. Далее пользуясь равенством углов 1и 2, 3 и 4 получаем: угол A = угол 1+3=2+4= углу C

Второе свойство параллелограмма. Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. A BC D Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.(AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1=2 и угол 3=4 как накрест лежащие углы при пересечение прямых AB и CD секущими AC и BD) поэтому AO=OC и OD=OB. o

Первый признак параллелограмма. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм. A BC D Пусть в четырёхугольнике стороны параллельны AB и CD,AB=CD. Проведём диагональ BD, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: ABD и CBD. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними(BD общая сторона, AB=CD по условию,угол1=2 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD и секущей BD.) поэтому угол 3=4, но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечение прямых BC и AD секущей BD, следовательно, BC параллельна AD. Таким образом в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, следовательно ABCD - параллелограмм

ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Если в четырёхугольнике противоположенные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм. A BC D Проведём диагональ BD данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABD и BCD. Эти треугольники равны по трём сторонам(BD - общая сторона, AB = CD, BC=AD по условию.) поэтому угол 1=2. отсюда следует, что AB параллельна CD. Т.к BC=AD, BC параллельна AD, то по 1 признаку этот четырёхугольник параллелограмм. 1 2

Третий признак параллелограмма. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм. A B C D Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором BD и AC диагонали пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Треугольник и равны по первому признак(AO =CO, BO=OD по условию угол 1=2 как вертикальные) поэтому 3=4 и угол 5=6. Из равенства углов следует, что AB параллельна CD, следовательно AB CD равны и параллельны, по 1 признаку четырёхугольник ABCD параллелограмм. O