УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Теорема Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости. Доказательство. Пусть AB - наклонная к плоскости π, AB - ее ортогональная проекция, c - прямая в плоскости π, проходящая через точку B. Докажем, что угол ABA меньше угла ABC. Для этого на прямой с отложим отрезок BC, равный AB. В треугольниках АBA и ABC сторона АB общая, AB = BC и AA < AC. Следовательно, угол ABA меньше угла ABC.

Упражнение 1 Прямые a и b образуют с плоскостью α равные углы. Будут ли эти прямые параллельны? Ответ: Нет.

Упражнение 2 Две плоскости образуют с данной прямой равные углы. Как расположены плоскости относительно друг друга? Ответ: Параллельны или пересекаются.

Упражнение 3 Под каким углом к плоскости нужно провести отрезок, чтобы его ортогональная проекция на эту плоскость была вдвое меньше самого отрезка? Ответ: 60 о.

Упражнение 4 Может ли катет равнобедренного прямоугольного треугольника образовать с плоскостью, проходящей через гипотенузу, угол в 60°? Каков наибольший угол между катетом и этой плоскостью? Ответ: Нет, 45 о.

Упражнение 5 Одна из двух скрещивающихся прямых пересекает плоскость под углом 60°, а другая перпендикулярна этой плоскости. Найдите угол между данными скрещивающимися прямыми. Ответ: 30 о.

Упражнение 6 Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания? Ответ: Да.

Упражнение 7 Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плоскостью стороны квадрата, наклонные к ней. Ответ: 45 о.

Упражнение 8 Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости π (плоскость треугольника не совпадает с плоскостью π ). Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости π или угол наклона высоты, опущенной на основание треугольника, к плоскости π ? Ответ: Угол наклона высоты.

Упражнение 9 Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата. Ответ: 30 о.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью AB 1 C 1. Ответ: 45 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью BC 1 D. Ответ: Куб 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC. Ответ: 45 o. Куб 4

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью BCC 1. Ответ: 45 o. Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: 30 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью BB 1 D 1. Ответ: 30 o. Куб 7

В кубе A…D 1 найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью BCC 1. Ответ: Куб 8

В кубе A…D 1 найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью BB 1 D 1. Ответ: Куб 9

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью BA 1 D. Ответ: 90 o. Куб 10

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра CD. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABE. Ответ: 30 о. Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между прямой AD и плоскостью ABC. Ответ: Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE. В треугольнике DAE имеем: AD = 1, AE = DE = Используя теорему косинусов, получим Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC. Ответ: 45 о. Решение: Искомый угол равен углу SAC. В треугольнике SAC имеем: SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 45 о. Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD. Ответ: 45 о. Решение: Искомый угол равен углу SOA, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SOA имеем: SA = 1, AO = Следовательно, искомый угол равен 45 о. Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD. Ответ: Решение. Пусть E, F – середины ребер AD и BC. Искомый угол равен углу SEF. В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = Используя теорему косинусов, получим Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC. Ответ: 60 о. Решение. Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD равносторонний. Следовательно, = 60 о. Пирамида 6

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, точка G – середина ребра SB. Найдите угол между прямой AG и плоскостью ABC. Пирамида 7 Ответ: 45 о. Решение. Искомый угол равен углу GAH. Треугольник SAD прямоугольный равнобедренный. Следовательно, угол равен 45 о.

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAF. Пирамида 8 Решение. Пусть O – центр основания, G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой FO и плоскостью SAF. Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF. Тогда равен углу OFH. В треугольнике SOG имеем: OG =, SO =, SG =. Следовательно, OH =. Ответ: В треугольнике OFH OH =, OF = 1. Следовательно,

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямой BC и плоскостью SAF. Ответ: Решение. Пусть O – центр основания, G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой AO и плоскостью SAF. Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF. Тогда равен углу OAH. Из решения предыдущей задачи имеем: OH =. В треугольнике OFH OF = 1, OH =. Следовательно, Пирамида 9

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямой AC и плоскостью SAF. Ответ: Пирамида 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью AB 1 C 1. Ответ: Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью BB 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью A 1 BC 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 O, где O – основание перпендикуляра, опущенного из точки B 1 на плоскость A 1 BC 1. Из прямоугольного треугольника BB 1 D находим Следовательно, Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью BB 1 C 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 AD, где D – середина ребра BC. Следовательно, Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью и ABC 1. Решение: Достроим треугольную призму до четырехугольной. BEE 1 B 1 – сечение, перпендикулярное CD. B 1 O перпендикулярен BE 1. Искомый угол равен углу B 1 AO. Из прямоугольного треугольника BB 1 E 1 находим Следовательно, Призма 6

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC. Ответ: 90 о. Призма 7

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC. Ответ: 45 о. Призма 8

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ABC. Решение: Искомый угол φ равен углу C 1 AC. Ответ: 30 о. В прямоугольном треугольнике ACC 1 CC 1 = 1, AC 1 = 2. Следовательно, φ = 30 о. Призма 9

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AD 1 и плоскостью ABC. Ответ: В прямоугольном треугольнике ADD 1 имеем: DD 1 = 1, AD = 2. Следовательно, Решение: Искомый угол φ равен углу D 1 AD. Призма 10

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABD 1. Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AE 1. В прямоугольном треугольнике A 1 AE 1 имеем: AA 1 =1; A 1 E 1 =. Следовательно, φ = 60 о. Ответ: 60 о. Призма 11

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ABD 1. Решение: Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BD 1. Искомый угол φ равен углу B 1 AH. В прямоугольном треугольнике BB 1 D 1 имеем: BB 1 =1; B 1 D 1 =, BD 1 = 2. Следовательно, угол BD 1 B 1 равен 30 о и, значит, B 1 H = В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H =. Ответ: Следовательно, Призма 12

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: В прямоугольном треугольнике A 1 AO имеем: AA 1 =1; A 1 O =. Следовательно, Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AO, где O – основание перпендику- ляра, опущенного из точки A 1 на прямую C 1 F 1. Призма 13

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ABС 1. Призма 14 Решение: Проведем прямые C 1 F 1, B 1 D 1 и обозначим G 1 их точку пересечения. Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BG 1. Искомый угол φ равен углу B 1 AH. В прямоугольном треугольнике BB 1 G 1 имеем: BB 1 =1; B 1 G 1 =, BG 1 =. Из подобных треугольников BB 1 G 1 и B 1 HG 1 находим B 1 H = В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем B 1 H =, AB 1 =. Следовательно, Ответ:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ACD 1. Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AF 1. В прямоугольном треугольнике A 1 AF 1 имеем: AA 1 =1; A 1 F 1 = 1. Следовательно, φ = 45 о. Ответ: 45 о. Призма 15

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BC 1 и плоскостью BDE 1. Призма 16 Решение: Плоскость CFF 1 перпендикулярна плоскости BDE 1 и пересекает ее по прямой GG 1. Прямая GG 1 образует с прямой C 1 F 1 угол 45 о. Из вершины C 1 опустим перпендикуляр C 1 H на прямую GG 1. В прямоугольном треугольнике C 1 G 1 H имеем: C 1 G 1 =, C 1 G 1 H = 45 о. Следовательно, C 1 H =. Ответ: В прямоугольном треугольнике BC 1 H имеем: BC 1 = ; C 1 H =. Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс между прямой AA 1 и плоскостью ACE 1. Решение: Из точки E 1 опустим перпендикуляр E 1 G на прямую AC. Искомый угол φ равен углу EE 1 G. В прямоугольном треугольнике EE 1 G имеем: EE 1 =1; EG = Следовательно, Ответ: Призма 17

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ACE 1. Призма 18 Решение: Плоскость BB 1 E 1 перпендикулярна плоскости ACE 1 и пересекает ее по прямой QE 1. В прямоугольном треугольнике QB 1 E 1 имеем: QB 1 =, B 1 E 1 = 2. Высота B 1 H этого треугольника равна Ответ: В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H = Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ADE 1. Решение: Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 G на прямую AD. Искомый угол равен углу FF 1 G. В прямоугольном треугольнике FF 1 G имеем: FF 1 =1; FG = Следовательно, Ответ: Призма 19

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ADE 1. Решение: Плоскость BB 1 F 1 перпендикулярна плоскости ADE 1 и пересекает ее по прямой QF 1. В прямоугольном треугольнике QB 1 F 1 имеем: QB 1 = 2, B 1 F 1 =. Высота B 1 H этого треугольника равна. Ответ: В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H =, Следовательно, Призма 20

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью ADE 1. Призма 21 Решение: Прямая B 1 С 1 параллельна плоскости ADE 1. Следовательно, расстояние от точки C 1 до плоскости ADE 1 равно расстоянию от точки B 1 до этой плоскости и равно. В прямоугольном треугольнике AС 1 H имеем: AС 1 = 2, C 1 H =. Ответ: Следовательно,