Угол в пространстве Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? Ответ: Бесконечно много. Упражнение 1

Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? Ответ: Бесконечно много. Упражнение 2

Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии? Ответ: Нет. Упражнение 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A 1 C 1 и B 1 D 1. Ответ: 90 o. Куб

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 90 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD. Ответ: 90 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и C 1 D 1. Ответ: 90 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD 1. Ответ: 45 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Ответ: 60 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и DA 1. Ответ: 60 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и A 1 C 1. Ответ: 60 o.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1. Ответ: 90 o.

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BD. Ответ: 60 o. Пирамида

В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины ребер BC и CD. Найдите угол между прямыми AD и EF. Ответ: 60 o.

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB. Найдите угол между прямыми AD и CE. Решение. Через точку E проведем прямую EF, параллельную AD. Искомым углом будет угол CEF. В треугольнике CEF имеем EF =, CE = CF = Следовательно, Ответ:

В правильном тетраэдре ABCD точки E, F, G – середины ребер AB, BD, CD. Найдите угол EFG. Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC. Следовательно, угол между ними равен 90 о. Ответ: 90 о.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SB. Ответ: 60 о.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и SC. Ответ: 60 o.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SC. Ответ: 90 о. Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 90 о.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол между прямыми AD и BE. Ответ: 30 о. Решение. Искомый угол равен углу CBE. Он равен 30 о.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE. Ответ: Решение. Через точку E проведем прямую, параллельную SA. Она пересечет основание в точке O. Искомый угол равен углу OEB. В прямоугольном треугольнике OEB имеем: OB =, OE =. Следовательно,

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямыми SA и BC. Ответ: 60 о. Решение: Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD – равносторонний, следовательно, = 60 о.

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямыми SA и DE. Ответ:

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямыми SA и BE. Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA 1 и BC. Ответ: 90 o. Призма

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C 1. Ответ: 60 o.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно,

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и BC 1. Решение: Достроим призму до 4-х угольной призмы. Проведем AD 1 параллельно BC 1. Искомый угол будет равен равен углу B 1 AD 1. В треугольнике AB 1 D 1 Используя теорему косинусов, находим

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AA 1 и DE 1. Ответ: 45 o.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и DE 1. Ответ: 90 o.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1. Решение: Пусть O 1 –центр правильного 6-ка A 1 …F 1. Тогда AO 1 параллельна BC 1, и искомый угол равен углу B 1 AO 1. В равно- бедренном треугольнике B 1 AO 1 O 1 B 1 =1; AB 1 =AO 1 = Применяя теорему косинусов, получим