Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей».Расска- зывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однаж- ды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик К.Ф.Гаусса, астроном и геометр,Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опуб- ликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист другой ученик Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского универси-Иоганн Бенедикт Листинг тета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 г. Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная ка- мера), - две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окра- шен. Вторая неожиданность поджидает нас в тот момент, когда мы попробу- ем разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» кольцо при этом бы распалось на два куска, а лист Мёбиуса при этом превратиться в одно перекрученное кольцо.

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Бутылка Клейна это определённая неориентируемая поверхность (т. е. двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. Немецким математиком Ф.Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проектируемой плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).Ф.Клейном Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки. Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, по технологическим причинам приходится оставлять отверстие.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения" ). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Предлагаю детям представить, что они сделаны из мягкой проволоки и перечислить топологически родственные буквы (проволоку можно гнуть и растягивать).

Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки. При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).оси симметрии

Если квадрат вырезан из бумаги, то на первый взгляд перекрутить его невозможно; на самом же деле достаточно лишь сложить квадрат вдоль диагоналей так, как показано на рис 1. Соединив между собой пару обозначенных стрелкой сторон, вы получите хорошо известный лист Мебиуса, впервые изученный немецким астрономом прошлого века А. Ф. Мебиусом, который одним из первых занялся изучением топологических свойств геометрических фигур. Вывернуть склеенную модель нельзя, поэтому понять, что действительно получился лист Мебиуса, далеко не просто. Можно склеить модель листа Мёбиуса гораздо быстрее и проще. Взять узкую полоску (рис.2а) и склеить кольцо, соединив соответствующие точки на рис.2б. (при этом полоска перекручивается на пол оборота). Склейте два кольца- одно простое и лист Мёбиуса (как показанно на рис.3). Кольца, конечно, очень похожи; но что получится, если провести непрерывную линию (тоесть не отрывая карандаша от склееной полоски) по одной из сторон кольца? Когда Mёбиус сделал это на перекрученном кольце, он обнаружил, что линия прошла по обеим сторонам, хотя его карандаш не отрывался от бумаги. Это и доказывает, что такое вот кольцо имеет только одну сторону.

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна более тонкая лента Мёбиуса, другая длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R³, но вкладывается в R 4. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Хроматическое число поверхности равно 6.

а) На обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев провести по две пунктирные линии. Склеить лист Мёбиуса. Разрезать по пунктирным линиям. Описать полученный результат. Прошу дать прогноз для подобного эксперимента, но когда лента не была перекручена. б) Приготовьте ленту шириной 5 см, на которой нанесите пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделайте из неё лист Мёбиуса. Что получится, если разрезать его по пунктиру?

Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Два тонких кольца и центральная часть Получим 3 кольца: I кольцо - лист Мёбиуса - 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой