Подготовила учитель математики МКОУ СОШ п. Кашхатау Кульбаева А.Ю.

Цели: 1. Ознакомить учащихся с понятием усеченная пирамида, её элементами и формулами для вычисления площадей усеченной пирамиды. 2.Развить пространственное воображение учащихся

1. Какие виды многогранников вы знаете? 2. Из чего состоит призма? 3. Какие виды призм вы знаете? Повторение

Призма Призмой называется многогранник, составленный из двух равных n многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов

Прямая призма Прямая призма – это призма боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям. Каждое из рёбер является её высотой. Боковые грани – прямоугольники.

Наклонная призма Наклонная призма – это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.

Правильная призма Правильная призма- это призма, основания которой-правильные многоугольники

Формулы нахождения площади Sп.п = Sбок.+2Sоснован. Sбок.= Pоснован · h

Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания-вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Изображение пирамиды A1A2…An - основание S - вершина пирамиды SA1, SA2,…, SAn - боковые ребра D SA1A2, D SA2A3,…..- боковые грани SO - высота

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида, называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Свойства правильной пирамиды: боковые ребра равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

пирамидавершинреберграней треугольная четырехугольная шестиугольная n-угольная Количество вершин, ребер и граней пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Площадь полной поверхности

В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2. Ответ:8см Задача

ПОНЯТИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды

ПОНЯТИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ОСНОВАНИЯ А1А1 А2А2 А4А4 А3А3 В1В1 В3В3 В4В4 В2В2 В5В5 А5А5 С Н Многоугольники А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 и В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2, А 3 В 3 … - боковые ребра усечённой пирамиды Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2, А 2 В 2 В 3 А 3 … - боковые грани усечённой пирамиды. Можно доказать, что все они являются трапециями.доказать Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды.

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА А1А1 А2А2 А4А4 А3А3 В1В1 В3В3 В4В4 В2В2 В5В5 А5А5 Р Докажем, что боковые грани А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 являются трапециями. Рассмотрим четырехугольник А 1 В 1 В 2 А || (РА 2 А 3 ) =А 2 А 3 значит А 2 А 3 || В 2 В 3 РА 2 А 3 ) В 2 В 3 2. А 2 Р А 3 Р=Р, значит А 2 В 2 || А 3 В 3 Т.о. А 1 В 1 В 2 А 2 – трапеция по определению Аналогично доказывается и про остальные боковые грани.

ПОНЯТИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ОСНОВАНИЯ А1А1 А2А2 А4А4 А3А3 В1В1 В3В3 В4В4 В2В2 В5В5 А5А5 С Н Многоугольники А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 и В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2, А 3 В 3 … - боковые ребра усечённой пирамиды Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2, А 2 В 2 В 3 А 3 … - боковые грани усечённой пирамиды. Можно доказать, что все они являются трапециями.доказать Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.правильной пирамиды Основания - правильные многоугольники. Боковые грани – равные равнобедренные трапеции (?). Высоты этих трапеций называются апофемами.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является её высотой.правильный многоугольникцентром основания Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. F O

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник, и называется центром правильного многоугольника. Для его нахождения достаточно определить в какой точке находится центр либо вписанной либо описанной окружности.

УСЕЧЕННЫЕ ПИРАМИДЫ

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ Площадью полной поверхности (Sполн) пирамиды называется сумма площадей всех её граней: основания и всех боковых граней. Площадью боковой поверхности (Sбок) пирамиды называется сумма площадей её боковых граней. Sполн =Sбок+Sосн Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Доказать.Доказать. S полн.усеч. =S бок +S верхн.осн. +S нижн.осн.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды. α2α2 α1α1 h Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

Найдите: 1. апофему пирамиды; 2. площадь полной поверхности. ЗАДАЧА 1 Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а боковое ребро равно 2 см.

Ход решения задачи. Дано: ABCMPK – правильная усечённая пирамида; АВС – нижнее основание; МРК – верхнее основание; АВ = 4 см, МР = 2 см, АМ = 2 см. Найти: 1. апофему; 2. S полн. План решения: 1.Сделать чертеж. 2.Построить апофему и определить многоугольник, из которого можно её найти. 3.Произвести необходимые вычисления.Произвести необходимые вычисления. А В С М Р К А В М Р 2 2 4

РЕШЕНИЕ А В М Р 2 2 Н С 2 АВ=АН+АС+СВ СВ=АН АВ=2АН+МР НС=МР Т.о. 2АН=2, АН=1 АМН – прямоугольный, АНМ=90 АН= по теореме Пифагора. 4 S полн =S бок +S верхн.осн. +S нижн.осн. т.к. в основании правильные треугольники

РЕШЕНИЕ Ответ:

Подведение итогов: 1.Понятие усеченной пирамиды. 2. Назовите элементы усеченной пирамиды. 3. Определение правильной усеченной пирамидой. 4. Чем являются боковые грани правильной усеченной пирамиды. 5. Площадь поверхности усеченной пирамиды. 6.Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Домашняя работа Прочитать §2,решить 248, 270