Многогранники

Определение Многогранников Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления. Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. история правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "адрон" - грань. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "кекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоса" - двадцать. Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками.

Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Это усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр. Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансон открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Виды Многогранников куб тетраэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр трехмерный крест трехмерный крест усеченный куб усеченный куб усеченный тетраэдр усеченный тетраэдр усеченный октаэдр усеченный октаэдр усеченный икосаэдр усеченный икосаэдр кубооктаэдр ромбокубооктаэдр ромбоусеченный кубооктаэдр ромбоусеченный кубооктаэдр икосододекаэдр звездчатый октаэдр звездчатый октаэдр большой додекаэдр большой додекаэдр малый звездчатый додекаэдр малый звездчатый додекаэдр

Куб

Тетраидэр

октаэдр

икосаэдр

додекаэдр

трехмерный крест Пространственная фигура, составленная из семи кубов.

усеченный куб

усеченный тетраэдр

усеченный октаэрд

усеченный икосаэдр Состоит из 32 граней, из которых 12 - правильные пятиугольники и 20 правильные шестиугольники.

кубооктаэдр

ромбокубооктаэдр

ромбоусеченный кубооктаэдр

икосододекаэдр Имеет 12 граней - правильные пятиугольники и 20 граней - правильные треугольники.

звездчатый октаэдр Является объединением двух пересекающихся правильных тетраэдров, и для его изготовления требуются лишь одинаковые равносторонние треугольники.

большой додекаэдр Для этой модели нужен трафарет - равнобедренный треугольник с углами по 36 и 108 градусов (см. рисунок). Склеить 20 треугольных пирамид вершинами вниз, а затем склеить пирамиды вместе.

малый звездчатый додекаэдр Модель можно изготовить, подклеивая пятиугольные пирамидки к граням додекаэдра.