Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и все его многогранные углы равны. У правильного многогранника, очевидно, равны все двугранные углы. Существует пять правильных многогранников: их названия соответствует числу граней. Перечислим их в порядке возрастания граней.

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР (состоит из 4 треугольников) Представляет собой правильную треугольную пирамиду с боковыми гранями, равными основанию

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИГРАННИК ИЛИ ГЕКСАЭДР (состоит из 6 квадратов) Хорошо всем нам известный куб

ПРАВИЛЬНЫЙ ОКТАЭДР (состоит из 8 треугольников) В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани. Его легко представить себе как две правильные четырехугольные пирамиды, у которых склеены основания.

ПРАВИЛЬНЫЙ ДОДЕКАЭДР ( состоит из 12 пятиугольников) Додекаэдр состоит из пятиугольников и имеет двенадцать граней

ПРАВИЛЬНЫЙ ИКОСАЭДР (состоит из 20 треугольников) В каждой вершине икосаэдра сходятся пять граней.

Оказывается, что кроме уже перечисленных, других правильных многогранников нет

Рассмотрим случай, когда гранями правильного многогранника служат правильные треугольники. Значит, в вершине многогранника могут сходиться три, четыре, или пять треугольников. Шесть треугольников составляют в сумме Угол при вершине треугольника равен

Угол квадрата равен Поскольку четыре прямых угла в сумме дают уже, из квадратов можно составить только трехгранные углы. Из прямых трехгранных углов состоит куб. Он является единственным правильным многогранником с квадратными гранями. Рассмотрим случай, когда грань – это квадрат.

Гексагональная антипризма Курносый додекаэдр Левая модификация Правая модификация

Малый кубокубоктаэдр Ромбоикосододекаэдр

Ромбоусеченный кубоктаэдр Усеченный икосаэдр

Усеченный тетраэдр Икосододекаэдр

Пентаграмматическая призма Ромбокубоктаэдр

Тетрагональная антипризма Усеченный куб

Большой додекаэдр Кубоктаэдр

Малый звездчатый додекаэдр Псевдоромбокубоктаэдр

Ромбоусеченный икосододекаэдр Усеченный додекаэдр

Усеченный октаэдр