Средняя школа 46 ШЕСТЬ УРОКОВ ПО КОМБИНАТОРИКЕ В 7-м КЛАССЕ Белгород 2005 Тарасова А.М.

Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой Задачи, в которых идет речь о всевозможных комбинациях объектов, называются комбинаторными задачами УРОК 1. Введение в комбинаторику

Задача. Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В,С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? УРОК 1

Задача. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С - три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из города А в город С? Задача. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»? УРОК 1

Задача. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы? Получается 15 различных комбинаций одежды. УРОК 1

Задача. Начальник пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовало в совещании, если было всего 78 рукопожатий? Задача. На дискотеку собрался почти весь класс – 22 человека. Лена танцевала с семью мальчиками, Нина – с восьмью, Вера – с девятью и т.д. до Ирины, которая танцевала со всеми мальчиками из этого класса. Сколько мальчиков было в этом классе? УРОК 1

Устные упражнения. 1. В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку? 2. Изменяя порядок слов, составьте предложения: «Я мою руки». 3. Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде простых множителей число 30? УРОК 2. Факториал

Определение. Произведение первых n натуральных чисел, т.е … n называют «n-факториал» и обозначают n! 123…n=n! («эн факториал») Например, 4! = 1234=24 Главное свойство факториала следует из определения: (n+1)!=(n+1)n! Подставим в эту формулу n=0. Получим: 1!=10!, откуда 0!=1 УРОК 2

УРОК 3. Перестановки Пусть элементами будут бабочка, черепаха и рак. Составим всевозможные соединения, которые отличаются порядком расположения элементов.

УРОК 3 В тетрадях ведутся записи: Б (бабочка) Р (рак) Ч (черепаха) ЧБР БРЧ РЧБ ЧРБ БЧР РБЧ

УРОК 3 Задача. Антон, Борис и Виктор купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е, 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места? В этих задачах мы составили всевозможные соединения из трех элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

УРОК 3 Определение. Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов. Перестановки из n элементов обозначают P n и вычисляют по формуле P n =n!(пэ из эн). Например, Р 3 =6, 3!=123=6

УРОК 3 7) Сколько различных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом из этих чисел все цифры различны? Решение. Р 5 =5! =120. Так как число не может начинаться нулем, то надо вычесть количество чисел, первая цифра которых 0, Таких чисел будет Р 4 =4!=24. Р 5 -Р 4 =120-24=96. Ответ: 96 чисел.

УРОК 4. Размещения Колибри, тукан и рак – элементы, из которых будем составлять соединения по два элемента. Пары отличаются либо составом элементов, либо их расположением в паре.

УРОК 4 Задача. Антон, Борис и Виктор приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Решение. А(Антон) 1. А Б, 2. А В, 3. Б В. Б (Борис) В(Виктор) (Если мальчики будут пересаживаться со своего места на место друга, то таких соединений будет 6).

УРОК 4 Определение. Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения, называются размещениями из n элементов по k. Если будем иметь n элементов, а соединения будем брать по k элементов, то ( – а из эн по ка) Полученные пары называются размещениями из трех элементов по два.

УРОК 4 * Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два? Решение. Пусть надо взять n элементов, тогда А n 4 =12 А n 2, … n 2 -5n-6=0 (учащиеся 7-го класса представят 5n в виде суммы двух слагаемых); n 2 +n-6n-6=0, n (n+1)-6 (n+1)=0, (n+1)(n-6) =0, n = -1, n=6. По смыслу задачи n=6.

УРОК 5. Сочетания На рисунке имеем 4 элемента: половина киви, кисть винограда, лимон, помидор. Слева создаются соединения по два элемента и записываются Справа создаются соединения по три элемента и записываются Пары и тройки отличаются составом элементов.

УРОК 5 Определение. Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга лишь составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. (k n). Записывают и читают это так: (сочетания из n элементов по k). Количество сочетаний можно посчитать по формуле

УРОК 6. Контрольная работа Вариант 1 1. Найти: 2. Задача. У лесника 3 собаки Астра (А), Вега (В) и Гриф(Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак. Сделать рисунок. Посчитать по формуле.

УРОК 6 3.Задача. Сколькими способами 4 различных монеты можно разместить по двум карманам? 4. Задача. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11-в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией?

УРОК 6 Вариант 2 1. Найти :А 5 7 +Р Задача. Из трёх стаканов сока ананасового (а), брусничного (б) и виноградного(в)-Иван решил выпить последовательно два. Перечислить все способы, которыми это можно сделать. Сделать рисунок. Посчитать по формуле.

УРОК 6 3.Задача. Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой? 4. Задача. Из 100 человек 85 знают английский испанский, 75 - немецкий. Сколько человек заведомо знают все три языка?