1 Урок математики. 9 класс. 12 марта 2009 г. Преподаватель ГОУ 671 Манасевич Н.А. Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений с параметром

Тема: Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений Цель урока: обобщить и систематизировать изученные свойства квадратичной функции; научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения; научить применять полученные теоремы для решения задач; развивать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать, делать выводы.

3 Функция у = ax 2 +bx + c, a 0 называется квадратичной. График квадратичной функции – парабола. Если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх. Если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс. Абсцисса вершины параболы равна b/2a. Парабола пересекает ось ординат в точке ( 0; с).

4 1. На рисунке изображён график квадратичной функции у = ax 2 +bx + c, a 0. Какое из соотношений справедливо: у х а) аb > 0; б) са > 0; в) аb < 0; г) bс < 0 ?

5 2. При каких значениях а парабола у = ах 2 – 2х + 25 касается оси ОХ? а) а=25, б) а=0 и а=0,04; в) а=0, При каких значениях k уравнение kх 2 – ( k – 7)х + 9 = 0 имеет два равных положительных корня? а) k=49, k=1; б) k=1; в) k= При каких значениях а уравнение ах 2 – 6х + а = 0 имеет два различных корня? а) ( 3; 0)U(0; 3); б) (3; 3); в) (; 3)U(3; +).

6 у х М f(M) х1х1 х2х2 х0х0 Корни квадратного уравнения,а0 больше заданного числа М, если имеет место сиcтема: Правило 1. у х М f(M) х1х1 х2х2 х0х0 af(M) > 0, D 0, x 0 > M. a > 0, D 0, x 0 > M, f(M) >0. a < 0, D 0, x 0 > M, f(M) < 0;

7 Правило 2. Корни квадратного уравнения,а0 меньше заданного числа М, если имеет место сиcтема: у х м f(M ) х1х1 х2х2 х0х0 у х м х1х1 х2х2 х0х0 af(M) > 0, D 0, x 0 < M. a > 0, D 0, x 0 < M, f(М) > 0, a < 0, D 0, x 0 < M, f(М) < 0,

8 Правило 2. а > 0, D 0, x 0 < M, f(М) > 0, аf(M) > 0, х 1 х 2 < М D 0, а < 0, x 0 < M. D 0, x 0

9 Правило 3. Корни квадратного уравнения,а0 больше заданного числа m и меньше заданного числа М, если имеет место сиcтема: у х м f(M ) х1х1 х2х2 х0х0 m f(m) у х м f(M ) х1х1 х2х2 х0х0 m f(m) a > 0, D 0, m < x 0 < M, f(m) > 0, f(M) > 0, a < 0, D 0, m < x 0 < M, f(m) < 0, f(M) < 0, af(m) >0, af(M) > 0, D 0, m < x 0 < M.

10 Правило 3. m < X1 X2 < M а > 0, D 0, f(m) > 0, f(М) > 0, m < < M, а < 0, D 0, f(m) < 0, f(М) < 0, m < < M, m < < M. аf(М) > 0, D 0, аf(m) > 0,

11 Правило 4. Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения, а0, если имеет место сиcтема: у х м f(M) х1х1 х2х2 х0х0 у х м х1х1 х2х2 х0х0 х м х1х1 х2х2 х0х0 у a > 0, f(M) < 0, a < 0, f(M) > 0, af(M) < 0.

12 Правило 4. X1 < M < X2 а f(М) < 0. а > 0, f(М) < 0, а < 0, f(М) > 0,

13 Модуль 1 ( 2.36(1)). При каких значениях а корни уравнения х 2 – 2ах + (а + 1)(а – 1) = 0 принадлежат промежутку [-5;5]. Решение. Рассмотрим функцию f(х) = х 2 – 2ах + (а + 1)(а – 1). Условию задачи удовлетворяет система у х м f(M) х1х1 х2х2 х0х0 m f(m) аf(m) 0, аf(M) 0, D 0, m < x 0 < M; а + (а + 1)(а – 1) 0, 25 10а + (а + 1)(а – 1) 0, а 2 – (а 2 – 1) 0, 5 < а < 5; а а , а 2 – 10 а , а 2 – а , 5 < а < 5; а (-; -6]U[-4;+ ), а (-; -4]U[6;+ ), 5 < а < 5; Ответ: [-4;4] 4 а 4.

14 Модуль 2 ( 2.38(1)). При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а + 1)х - а 2 ? Решение. Рассмотрим функцию f(х) = х 2 + (а + 1)х - а 2. х м f(M) х1х1 х2х2 х0х0 у 1 + а + 1 – а 2 0 Ответ: (;1)U(2;+) a > 2 a < 1 Условию задачиудовлетворяет неравенство аf(М) < 0.

15 Модуль 3. При каких значениях а уравнение х 4 + (1 – 2а) х 2 + а 2 – 1 = 0 имеет четыре разных решения? Решение. х 4 + (1 – 2а) х 2 + а 2 – 1 = 0(1) Пусть х 2 = t. Тогда уравнение (1) примет вид: t 2 + (1 – 2а)t + а 2 – 1 = 0. Первоначальное уравнение имеет четыре решения тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, то есть 0 < t 1 < t 2. Поэтому имеет место система: у х М f(M) х1х1 х2х2 х0х0 af(M) > 0, D > 0, x 0 > M. а 2 – 1 > 0, 4а + 5 > 0, > 0; а а а > 1 < а < Ответ: (1;