Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

Цели урока: Ввести формулировку и доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Научиться находить угол между прямыми в пространстве.

Повторение. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пресекаться? б) быть скрещивающимися? Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с? Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точки А и А 1 лежат на прямой а, точки В и В 1 лежат на прямой b. Как будут расположены прямые АВ и А 1 В 1 ? Прямая а скрещивается с прямой b, а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются? Нет Да Нет Да АВ скрещивается с А 1 В 1

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. а а – граница полуплоскостей. А В С Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой а. ?

Углы с сонаправленными сторонами. ОА О 1 А 1 Лучи ОА и О 1 А 1 не лежат на одной прямой, параллельны, лежат в одной полуплоскости с границей ОО 1 сонаправленные А 2 О 2 ?

Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. О 1 О А 1 В 1 В А Дано: угол О и угол О 1 с сонаправленными сторонами. Доказать:

Теорема об углах с сонаправленными сторонами О1О1 О А1А1 В1В1 В А Доказательство: Отметим точки А, В, А 1 и В 1, такие что ОА = О 1 А 1 и ОВ = О 1 В Рассмотрим ОАА 1 О 1 : ОА|| О 1 А 1 ОА = О 1 А 1 ОАА 1 О 1 –параллелограмм ( по признаку ). 2. Рассмотрим ОВВ 1 О 1 : Значит, АА 1 || ОО 1 и АА 1 = ОО 1. ОВ|| О 1 В 1 ОВ = О 1 В 1 ОВВ 1 О 1 –параллелограмм ( по признаку ). Значит, ВВ 1 || ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1.

О1О1 О А1А1 В1В1 В А Вывод: АА 1 || ОО 1 и ВВ 1 || ОО 1,АА 1 || ВВ 1 АА 1 = ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1,АА 1 = ВВ 1 Следовательно, четырехугольник АА 1 В 1 В – параллелограмм (по признаку). АВ = А 1 В 1 3. Рассмотрим АВ О и А 1 В 1 О 1. АВО = А 1 В 1 О 1 (по трем сторонам) Вывод:

Угол между скрещивающимися прямыми. α α0 0 < α Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1, при этом А 1 В 1 || АВ и С 1 D 1 || CD. А В D С А 1 В 1 С 1 D 1 α М 1

Практическое задание. Выбрать любую точку М 2. Построить А 2 В 2 || АВ и С 2 D 2 || CD. Ответить на вопросы: 1. Почему А 2 В 2 || А 1 В 1 и С 2 D 2 || C 1 D 1 ? 2. Являются ли углы А 1 М 1 D 1 и А 2 М 2 D 2 углами с соответственно параллельными сторонами? ? Вывод: 1. 2.Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки. 3.

C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. Найдите угол между прямыми: 1. ВС и СС АС и ВС D 1 С 1 и ВС А 1 В 1 и АС 45 0

Задача 44. Дано: ОВ || СD, ОА и СD – скрещивающиеся. Найти угол между ОА и СD, если: О В C D A а) 40 0 б) 45 0 в) 90 0

Дополнительная задача. Треугольники АВС и АСD лежат в разных плоскостях. РК – средняя линия АDC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ, найти угол между ними, если А В С D P К Ответ: 1) АВ и РК скрещивающиеся, 2) 60 0