Различные доказательства теоремы Пифагора Выполнили: Кочеткова Софья 11 Б Козлова Вика 8Б, Газиев Юра 8Б Руководитель проекта: Филиппова Н.С. Москва 2009

"Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом". (с) "Перечень математиков"

Пифагор Греческий философ, основатель Пифагорейской школы. Родился на греческом острове Самосе. Пифагорейцы считали, что все во Вселенной можно обозначать с помощью чисел и их взаимоотношений. Пифагору приписывают многие достижения в математике, геометрии и философии. Он, по- видимому, был первым, кто учил, что Земля - это шар, обращающийся вокруг неподвижной точки, также ему приписывают открытие математической связи между длиной вибрирующей струны и высотой издаваемого ей звука. Считается, что Пифагор создал теорему, согласно которой квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух его других сторон, но этот факт был на самом деле известен египтянам и вавилонянам за много сотен лет до этого. Греческий философ, основатель Пифагорейской школы. Родился на греческом острове Самосе. Пифагорейцы считали, что все во Вселенной можно обозначать с помощью чисел и их взаимоотношений. Пифагору приписывают многие достижения в математике, геометрии и философии. Он, по- видимому, был первым, кто учил, что Земля - это шар, обращающийся вокруг неподвижной точки, также ему приписывают открытие математической связи между длиной вибрирующей струны и высотой издаваемого ей звука. Считается, что Пифагор создал теорему, согласно которой квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух его других сторон, но этот факт был на самом деле известен египтянам и вавилонянам за много сотен лет до этого.

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." (с) Ван-дер-Варден

Теорема "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". (Евклид) "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". (Евклид) "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол" (Евклидовы "Начала") "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол" (Евклидовы "Начала") Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетовКвадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Способы доказательства Существует множество способов доказательства этой теоремы. Рассмотрим некоторые из них. Существует множество способов доказательства этой теоремы. Рассмотрим некоторые из них.

Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

На основе равновеликости фигур На рис. изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c 2 =a 2 +b 2. На рис. изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c 2 =a 2 +b 2.

Доказательство Эпштейна Его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке. Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена. На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Бетхера

Доказательство Перигаля В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа. В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Гутхейля Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника. Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Доказательство Евклида На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD FB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABD РFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.

Доказательство Хоукинсa Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b²/2 SCAA'=b²/2 SCBB'=a²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана Теорема доказана

Доказательство через площадь Площадь прямоугольного треугольника: S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника); p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности. r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x 2 -c 2 ) a*b = ½(a 2 + 2*a*b + b 2 - c 2 ) a 2 + b 2 - c 2 = 0, значит a 2 + b 2 = c 2 Площадь прямоугольного треугольника: S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника); p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности. r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x 2 -c 2 ) a*b = ½(a 2 + 2*a*b + b 2 - c 2 ) a 2 + b 2 - c 2 = 0, значит a 2 + b 2 = c 2

Через косинус Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC 2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС 2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим: АС 2 +ВС 2 =АВ(AD + DB)=АВ 2. По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC 2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС 2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим: АС 2 +ВС 2 =АВ(AD + DB)=АВ 2. Теорема доказана. Теорема доказана.

Как теорему доказывают дети…

Вот теперь-то понятно…