Теоремы Ляпунова

Система дифференциальных уравнений в нормально форме относительно функций : (1) на симплексе Выразим первую переменную через остальные: Перейдем от системы (1) к системе: (2) на симплексе.. 2 Математическое моделирование процессов отбора

Первая теорема Ляпунова Пусть на симплексе задана знакоопределенная непрерывно дифференцируемая функция V(x). Пусть производная функции V(x), взятая в силу системы (2) является знакопостоянной, имеющей знак противоположный знаку функции V(x). Тогда состояние равновесия в начале координат будет устойчивым по Ляпунову. Функция V(x) при этом называется функцией Ляпунова для рассматриваемой системы.(2) 3 Математическое моделирование процессов отбора

Вторая теорема Ляпунова Пусть на симплексе S 0 задана знакоопределенная функция V(x), производная которой, взятая в силу системы (2), является также знакоопределенной, имеющей знак противоположный знаку функции V(x). Тогда, если начало координат является состоянием равновесия, то оно является глобально асимптотически устойчивым на симплексе S 0. 4 Математическое моделирование процессов отбора

Потенциал как функция Ляпунова o G- потенциальное векторное поле, если существует функция U(x 2,…,x n ), что o U- потенциал поля G 5 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема Если начало координат является единственным состоянием равновесия для системы (2) на симплексе S 0 и векторное поле G=(G 2, …, G n ), определенное правыми частями системы (2), потенциально, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на симплексе S 0. 6 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство G- потенциально, значит, работа поля вдоль гладкой кривой, соединяющей точки A и B, не зависит от вида кривой: (3) Рассмотрим (3) вдоль участка фазовой траектории системы (1) при : = (4) Из (4) следует, что U строго монотонно возрастает, значит, производная функции U положительно определена на симплексе. : точка max для U; состояние равновесия системы (2); начало координат. U(x) - функция Ляпунова. По второй теореме Ляпунова начало координат будет глобально асимптотически устойчивым на симплексе S 0. 7 Математическое моделирование процессов отбора

Частные случаи функции Ляпунова на симплексе S 0. В силу (2): (5) Если (5) всюду отрицательна на S 0,за исключением начала координат, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на S 0. Рассмотрим (1) на Достаточное условие глобальной асимптотической устойчивости вершины (1,0,…,0): (6) 8 Математическое моделирование процессов отбора

Достаточное условие глобальной асимптотической устойчивости состояния равновесия (1,0,…,0) : F 1 (x 1,…,x n )>0, т.к. (7) Если (7) всюду отрицательна на S 0,за исключением начала координат, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на S 0. Рассмотрим (1) на симплексе S. Достаточное условие глобальной асимптотической устойчивости состояния равновесия (1,0,…,0): (8) 9 Математическое моделирование процессов отбора

Согласно первой теореме о представлении, (8) приводится к виду: Достаточное условие глобальной устойчивости состояния равновесия в вершине симплекса: 10 Математическое моделирование процессов отбора