Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя

§8. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Если f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что f ( ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Ролля.

Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. Следовательно, если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей AB. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде f(b) – f(a) = f ( ) (b – a).(3) Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Функция f(x) принимает на [a; b] постоянное значение C f (x) = 0, x (a; b). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b), причем (x) 0, x (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§9. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0 ̄ и выполняются следующие условия: 1)функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x 0, ), причем (x) 0, x U*(x 0, ). Тогда, если (конечный или бесконечный), топричем эти два предела будут равны. Т.е.

Замечания. 1) Если f (x) и (x) тоже являются б.м. (б.б.) при x x 0, то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

§10. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции (самостоятельно) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) > f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется убывающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Замечание. Из определения если f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале x и соответствующее ему f(x) будут иметь одинаковый (разный) знак. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f(x) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда 1)если y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна), т.е. f (x) 0, x (a;b) ( f (x) 0, x (a;b) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2)если f (x) > 0, x (a;b) ( f (x) < 0, x (a;b) ), то функция y = f(x) на (a;b) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Т.1, стр. 145.)

2. Экстремумы функции (самостоятельно) Пусть x 0 D(f), x 0 – внутренняя точка D(f) (т.е. существует не- которая окрестность точки x 0, целиком лежащая во мно- жестве D(f)). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) < f(x 0 ), x U*(x 0, ). Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) > f(x 0 ), x U*(x 0, ). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.

Замечания: 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x 0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2)Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x 0 – точка экстремума функции f(x) и f(x) – диф- ференцируема в точке x 0. Тогда f (x 0 ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x 0 – точка экстремума функции f(x) и кривая y = f(x) имеет невертикальную касательную в точке M 0 (x 0,f(x 0 )), то эта касательная – горизонтальная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр. 148.)

Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x). ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f), f(x) непрерывна в U(x 0, ) f(x) дифференцируема в U(x 0, ) или U*(x 0, ). Если при переходе через точку x 0 производная функции f(x) меняет знак, то x 0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x 0 – точка минимума. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр )

Замечание. Из теоремы 3 точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f(x) и точки, в которых f (x) не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).

ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f) и f(x) n раз дифференцируема в точке x 0, причем f (x 0 ) = f (x 0 ) = … = f (n – 1) (x 0 ) = 0, f (n) (x 0 ) 0. Тогда: 1)если n – четное и f (n) (x 0 ) > 0, то x 0 является точкой минимума функции f(x) ; 2)если n – четное и f (n) (x 0 ) < 0, то x 0 является точкой максимума функции f(x) ; 3)если n – нечетное, то x 0 не является точкой экстремума функции f(x). Замечание. На практике пользоваться 2-м достаточным усло- вием экстремума менее удобно, чем 1-м. Действительно, 1) сложно вычислить f (n) (x 0 ); 2) определяются не все промежутки монотонности функции. Но иногда, все же лучше применить 2-е достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много.