Уравнение множественной регрессии y t = a 0 +a 1 x 1t +a 2 x 2t +a 3 x 3t +…+a k x kt +U t (8.1) Наилучшая линейная процедура получения оценок параметров уравнения (8.1) и условия, при которых эта процедура дает несмещенные и эффективные оценки, сформулирована в теореме Гаусса-Маркова. Постановка задачи: Имеем случайную выборку наблюдений за поведением экономического объекта объемом n. Выборка y 1 x 11 x 21 x 31 …x k1 y 2 x 12 x 22 x 32 …x k2 y 3 x 13 x 23 x 33 …x k3 …………………. y n x 1n x 2n x 3n …x kn Система уравнений наблюдений y 1 = a 0 +a 1 x 11 +a 2 x 21 +a 3 x 31 +…+a k x k1 +u 1 y 2 = a 0 +a 1 x 12 +a 2 x 22 +a 3 x 32 +…+a k x k2 +u (8.2) y 3 = a 0 +a 1 x 13 +a 2 x 23 +a 3 x 33 +…+a k x k3 +u 3 …………………. y n = a 0 +a 1 x 1n +a 2 x 2n +a 3 x 3n +…+a k x kn +u n

Уравнение множественной регрессии Вводятся обозначения: X – матрица коэффициентов при неизвестных параметрах; Y – вектор выборочных значений эндогенной переменной; U – вектор выборочных значений случайного возмущения; A - вектор неизвестных параметров модели. Найти: Ã, Cov(ÃÃ), σ u, σ( (z))

Уравнение множественной регрессии Теорема Гаусса-Маркова. Если матрица Х неколлинеарна и вектор случайных возмущений удовлетворяет следующим требованиям: 1.M(u) =0 2.σ 2 (u) = σ 2 u 3.Cov(u i,u j ) =0 при ij 4.Cov(x i,u i ) =0

Уравнение множественной регрессии Тогда наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели (8.1) является: Теорема Гаусса-Маркова (Продолжение). При этом:

Теорема Гаусса-Маркова Примеры применения теоремы Гаусса-Маркова Пример 1. Пусть имеем выборку из n наблюдений за случайной величиной Y. Найти наилучшие оценки среднего значения и дисперсии этой переменной. Y = a 0 +u, при этом имеем: В терминах теоремы Гаусса –Маркова задача формулируется так: необходимо построить модель типа Y = a 0 +u, при этом имеем:

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 1. (Продолжение) Решение.

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 2. Уравнение парной регрессии. Построить модель типа Y=a 0 +a 1 x +u, по данным выборки наблюдений за переменными Y и x объемом n. В схеме Гаусса-Маркова имеем:

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 2. Уравнение парной регрессии.(Продолжение). Последовательно вычисляем X T Y и оценку вектора А. (8.3)

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 2. Уравнение парной регрессии.(Продолжение). Вычислим дисперсии (ковариационную матрицу) параметров модели. Следовательно:

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 2. Уравнение парной регрессии.(Продолжение). Расчет дисперсии прогнозирования. Прогноз осуществляется в точке Z={1,z}

Примеры применения теоремы Гаусса- Маркова Пример 2. Уравнение парной регрессии.(Продолжение).