Тема презентации: «Общие методы решения квадратных уравнений»

Сейчас мы познакомимся с некоторыми способами решения квадратных уравнений, которые позволят быстро находить корни уравнений. Ребята!

I.Метод РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ Данный метод заключается в: 1. вынесении за скобки общего множителя; 2. формул сокращенного умножения; 3. способе группировки

I.1. Если в квадратном уравнении ах 2 + bх + с = 0 второй коэффициент «b» или свободный член «с» равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполное квадратное уравнение можно решить методом разложения его левой части на множители, например вынесением за скобки общего множителя Пример: 3х 2 +5х=0 х(3х+5)=0 х=0 или 3х+5=0 х= - 5/3

I.2. Для решения некоторых квадратных уравнений применяется способ сокращенного умножения. ВСПОМНИМ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения (а+в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на втрое плюс квадрат второго выражения (а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2. Пример: 1).Решить квадратное уравнение х 2 – 4х – 5 = 0. Решение. Преобразуем это уравнение х 2 - 4х = 5, х 2 – 4х + 4 = 5 + 4, ( х – 2 ) 2 = 9, х – 2 = -3 или х – 2 = 3, х = -3+2 х = 3+2, х = -1 х = 5. Решая это уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное. I.2. Для решения некоторых квадратных уравнений применяется способ сокращенного умножения. ВСПОМНИМ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения (а+в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на втрое плюс квадрат второго выражения (а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2. Пример: 1).Решить квадратное уравнение х 2 – 4х – 5 = 0. Решение. Преобразуем это уравнение х 2 - 4х = 5, х 2 – 4х + 4 = 5 + 4, ( х – 2 ) 2 = 9, х – 2 = -3 или х – 2 = 3, х = -3+2 х = 3+2, х = -1 х = 5. Решая это уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное. Таким же образом решаются уравнения с применением других формул сокращенного умножения.

I.3. Способ группировки заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения. Пример: 3х 2 + 2х – 1 = 0 Воспользуемся способом группировки, для чего представим 2х в виде разности 3х и х 3х 2 + 3х – х – 1 = 0 3х(х + 1) – (х + 1) = 0 (х + 1) (3х – 1) = 0 х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0 х = -1 х = 1/3

II. Метод введения новой переменной При решении более сложных квадратных уравнений не следует торопится выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. Удачный использовать Метод введения новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более простому случаю. Пример: (5х + 3) 2 = 3(5х + 3) – 2 Пусть 5х + 3 = t Произведем замену переменной: t 2 = 3t – 2 t 2 - 3t + 2 = 0. Убеждаемся, что D > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни: t 1 =1, t 2 =2 Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: Если t =1. тоЕсли t = 2, то 5х + 3 = 15х + 3 = 2 х = - 0,4х = - 0,2

Решите самостоятельно примеры: ПРИМЕР 1: -х 2 + 8х = 0 = 0 ПРИМЕР 1: -х 2 + 8х = 0 = 0 ПРИМЕР 2: 3х – х 2 = 0 ПРИМЕР 2: 3х – х 2 = 0 ПРИМЕР 3: -х 2 + 7х = 0 ПРИМЕР 3: -х 2 + 7х = 0 ПРИМЕР 4: 19х – х 2 = 0 ПРИМЕР 4: 19х – х 2 = 0 ПРИМЕР 5: ( х – 2 ) 2 = 3х – 8 ПРИМЕР 5: ( х – 2 ) 2 = 3х – 8 ПРИМЕР 6: ( 3х – 1 ) (х + 3 ) + 1 = х (1 + 6х) ПРИМЕР 6: ( 3х – 1 ) (х + 3 ) + 1 = х (1 + 6х) ПРИМЕР 7: 5 ( х + 2 ) 2 = - 6х - 44 ПРИМЕР 7: 5 ( х + 2 ) 2 = - 6х - 44 ПРИМЕР 8: ( х + 4 ) ( 2х – 1 ) = х (3х + 11 ) ПРИМЕР 8: ( х + 4 ) ( 2х – 1 ) = х (3х + 11 ) ПРИМЕР 9: х 4 – 17х = 0 ПРИМЕР 9: х 4 – 17х = 0 ПРИМЕР 10: х 4 – 10х = 0 ПРИМЕР 10: х 4 – 10х = 0 ПРИМЕР 11: х 4 + 5х 2 +9 = 0 ПРИМЕР 11: х 4 + 5х 2 +9 = 0 ПРИМЕР 12: х 4 + 5х = 0 ПРИМЕР 12: х 4 + 5х = 0

Проверьте правильность решения примеров: ПРИМЕР 1: -х 2 + 8х = 0 РЕШЕНИЕ: х (х – 8 ) = 0 х = 0 х 1 = 0 х – 8 = 0 х 2 = 8 ПРИМЕР 2: 3х – х 2 = 0 РЕШЕНИЕ: х (3 – х ) = 0 х = 0 3 – х = 0 х = 0- х = - 3 х 1 = 0х 2 = 3 ПРИМЕР 3: -х 2 + 7х = 0 РЕШЕНИЕ: х (х – 7 ) = 0 х = 0 х – 7 = 0 х 1 = 0 х 2 = 7 ПРИМЕР 4: 19х – х2 = 0 РЕШЕНИЕ : х (19 - х ) = 0 х = х = 0 х = 0- х = - 19 х 1 = 0х 2 =19 ПРИМЕР 5: ( х – 2 ) 2 = 3х – 8 РЕШЕНИЕ: х 2 – 4х + 4 – 3х + 8 = 0 х 2 – 7х + 12 = 0 D = b 2 – 4ас D = 49 – 4 12 D = 49 – 48 = 1 D = 49 – 48 = 1 х 1,2 = - b ± D 2 a х 1,2 = - 7 ± 1 2 х 1 = 4х 2 = 3

ПРИМЕР 6: ( 3 х – 1 ) (х + 3) + 1 = х (1 + 6х ) РЕШЕНИЕ: 3 х + 9х – х – х – 6х2 = 0 -3х 2 + 7х - 2 = 0 D = b 2 – 4ас D = 49 – 4 (-3) (-2) D = 49 – 4 (-3) (-2) D = 49 – 24 = 25 = 52 х 1,2 = - b ± D 2a 2a х 1,2 = - 7 ± х 1 = 2х 2 = 1/3 ПРИМЕР 7: 5 ( х + 2 ) 2 = - 6х - 44 РЕШЕНИЕ: 5х х х + 44 = 0 5х х + 64 = 0 k = b/2 k = 26/2 k = 13 D = k 2 – ac D = D = D 0 нет корней ПРИМЕР 8: ( х + 4 ) ( 2х – 1 ) = х (3х + 11 ) = 0 РЕШЕНИЕ: 2х 2 – х + 8х – 4 - 3х 2 – 11х = 0 х 2 + 4х + 4 = 0 (х + 2 ) 2 = 0 k = b/2 k = 4/2 k = 2 D = k 2 – ac D = 4 – 4 х = 2 ПРИМЕР 9: х 4 – 17х = 0 РЕШЕНИЕ: Пусть х 2 = t t 2 – 1 7t + 16 = 0 D = b 2 - 4ac D = 289 – 4 16 D = 225 D = 152 t 1,2 = ( - 17 ± 15) / 2 t 1 = 16 х 2 = 16 х 2 = 1 х 1 = 4х 2 = 1

ПРИМЕР 10: х 4 – 10х = 0 РЕШЕНИЕ: х 2 = t t 2 – 10t + 25 = 0 ( t – 5 )2 = 0 t = 5 D = k 2 – ac х = ± 5 ПРИМЕР 11: х 4 + 5х 2 +9 = 0 РЕШЕНИЕ: -х 2 = t t 2 + 5t + 9 = 0 D = b 2 - 4acD = D = D < 0 нет корней ПРИМЕР 12: х 4 + 5х - 36 = 0 РЕШЕНИЕ: х 2 = t t 2 + 5t – 36 = 0 D = b 2 - 4acD = (-36) D = D = 169 D = 132 t 1,2 = - b ± D 2 a t 1,2 = - 5 ± 13 2 t 1 = -9 t 2 = 4 х 2 = -9 Х = нет корнейх 2 = 4 х = ±2

Согласны ли вы с тем, что: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее» Сойер У. Сойер У.

Презентация окончена. Всего доброго!