Функциональные и степенные ряды Функциональные ряды Степенные ряды Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 1/18

Функциональные ряды Выражение вида: Пусть задана бесконечная последовательность функций, определенных в области D: Если в выражении (1) положим x = x 0, то получим некоторый числовой ряд: называется функциональным рядом. (1) (2) 2/18

Функциональные ряды Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x 0, если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой x = x 0, является сходящимся рядом. При этом x 0 называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда. Обозначим область сходимости ряда - D s. Как правило, область D s не совпадает с областью D, а является ее частью: 3/18

Функциональные ряды Пример Найти область сходимости функционального ряда: Область определения функций ln n x: Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем q = ln x Такой ряд сходится, если Область сходимости ряда - D s Поэтому: 4/18

Функциональные ряды Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х: Ряд (1) сходится к функции f(x) Для функции f(x) имеет место разложение Область определения этой функции совпадает с областью сходимости ряда D s. Пример Дан ряд: Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым членом b 1 = 1. Имеет место разложение: По формуле: 5/18

Функциональные ряды Тогда: Как и в случае числовых рядов для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм: для любых x из области сходимости. - n -й остаток ряда. S 1 (x) S 2 (x) S n (x) r n (x) Таким образом: При 6/18

Степенные ряды Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд. где а 0, а 1,а 2,…, а n, - постоянные числа – коэффициенты степенного ряда. (1) Ряд (1) расположен по степеням x. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (x - x 0 ), то есть ряд вида: (2) Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x 0 = z, поэтому при изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1). 7/18

Сходимость степенных рядов Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из следующей теоремы: Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0: 1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении Теорема Абеля 2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых выполняется условие: то он расходится при любом значении x при котором: 8/18

Сходимость степенных рядов Из теоремы Абеля следует, что существует такая точка,что интервал: ряд сходится весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого интервала ряд расходится. ряд расходится Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив интервал сходимости можно записать в виде : (-R; R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда. 9/18

Сходимость степенных рядов В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x 0 = 0, то считаем R = 0. Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то считаем На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим существует предел: 10/18

Сходимость степенных рядов По признаку Даламбера ряд сходится, если: Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен: Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что 11/18

Сходимость степенных рядов Замечания 1 Если, то можно убедиться, что ряд сходится на всей числовой оси, то есть. 2 Интервал сходимости степенного ряда (2): находят из неравенства 3 Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда. 12/18

Сходимость степенного ряда Пример 1 Найти область сходимости степенного ряда : Найдем радиус сходимости по формуле: Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х. 13/18

Сходимость степенного ряда Пример 2 Найти область сходимости степенного ряда : Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера: 14/18

Сходимость степенного ряда Ряд абсолютно сходиться, если Исследуем поведение ряда на концах интервала: При х = -1 имеем ряд: Ряд сходится по признаку Лейбница 15/18

Сходимость степенного ряда При х = 1 имеем ряд: Ряд также сходится по признаку Лейбница. Следовательно областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1] Пример 3 Найти область сходимости степенного ряда : Найдем радиус сходимости по формуле: 16/18

Сходимость степенного ряда Ряд абсолютно сходиться при Исследуем поведение ряда на концах интервала: При х = -4 имеем ряд: ряд сходится по признаку Лейбница При х = 0 имеем ряд: - расходится Следовательно областью сходимости исходного ряда является интервал [-4; 0) 17/18

Свойства степенных рядов Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R). Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда: При –R < x < R выполняется равенство: Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости, при этом для ряда (1) выполняется равенство: (1) (2) (3) Ряды (2) и (3) имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд (1). 18/18