Выбрав тему работы «Исследование производной», я поставил перед собой главную цель: расширить свои знания в изучении производной

Изучить историю возникновения производной; Рассмотреть определение производной; Иметь четкое представление о касательной к кривой; Иметь четкое представление о касательной к кривой; Узнать геометрический и механический смысл производной; Узнать геометрический и механический смысл производной; Рассмотреть зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции; Рассмотреть зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции; Проанализировать производные от элементарных функций, в том числе и производную постоянной; Проанализировать производные от элементарных функций, в том числе и производную постоянной; Выучить правила дифференцирования; Выучить правила дифференцирования; Изучить функцию с помощью производной, в том числе и признаки постоянства; Изучить функцию с помощью производной, в том числе и признаки постоянства; Рассмотреть при каких значения функция возрастает и убывает, имеет наибольшее и наименьшее значение; Рассмотреть при каких значения функция возрастает и убывает, имеет наибольшее и наименьшее значение; Научиться определять точки максимума и минимума(точки экстремума); Научиться определять точки максимума и минимума(точки экстремума); Узнать при каких значениях существует экстремум и как его находить; Узнать при каких значениях существует экстремум и как его находить; Рассмотреть направление вогнутости прямой, точки перегиба; Рассмотреть направление вогнутости прямой, точки перегиба; Осознать роль применения производной. Осознать роль применения производной.

Понятие производной определяется через понятие предела, история появления которого уходит в глубокую древность. Ещё в IV в. до н.э. знаменитый древнегреческий математик Евдокс Книдский в неявном виде использовал предельные переходы для обоснования методов вычисления площадей криволинейных фигур. В явном виде предельные переходы встречаются в работе фламандского математика А. Такке (1612 – 1660) «Начала плоской и телесной геометрии», опубликованной в 1654 г. Первое определение предела дал английский математик Д. Валлис (1616 – 1703). Метод пределов получил своё развитие в работах знаменитого английского учёного И. Ньютона (1643 – 1727). Ему же принадлежит введение символа lim. Е. Книдский А. Такке Д. Валлис И. Ньютон

Существенный вклад в развитие основ дифференциального исчисления внесли французские учёные П. Ферма ( ) и Р. Декарт ( ). В середине 60-х гг. XVII в. Ньютон пришёл к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости. П. Ферма Р. Декарт И. Ньютон

Поставим своей задачей определить скорость, с кото­рой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на от­резке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, x его приращением.y=f(x+x)-f(x). Найдем отношение приращения у функции к прира­щению x аргумента: у/x=(f(x+x)-f(x))/ x. Будем теперь неограниченно приближать x к нулю.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно поме­щается показатель степени, или 2) перед обозначением данной функции ставится символ d/dx. Если данная функция обозначена буквой у, то ее про­изводная может быть обозначена: 1) у', читать: «производная функции у», или 2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс». Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена: 1) f '(х), читать: «производная функции f(x)», или же 2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

Нахождение производной от данной функции на­зывается дифференцированием данной функции. Общее правило дифференцирования (нахождения про­изводной) следующее: 1) найти приращение y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + x и x; 2) найти отношение y/x, для этого полученное выше равенство разделить на x; 3) найти предел отношения y/x при x 0

Пример. Найти производную функции у = х в любой точке x. Решение. 1) y = (x + x) (х 3 + 1). По выполнении действий: y = Зx 2 *x+Зx*x 2 +x 3 ; 2) y/x=3x 2 + Зx*x+x 2 ; 3) dy/dx = lim(3x 2 +3x*x+x 2 = 3x 2 +3x*0+0 = 3x 2. x0 Производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k. для линейной функции y = kx+b у = k*x; y/x=k;

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С. Точка С называется точкой прикосновения или ка­ сания. Следствие. Угол φ образуемым ка­сательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, обра­зуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Y 0 A M T C X φ α α N x Δx f(x) f(x+ Δx) lim tg α =lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=f '(x). Δx0 Δx0 Теорема. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х. Доказательство Доказательство. Уг­ловой коэффициент касатель­ной: tgφ = tg(limα), так как, по предыдущему, φ = limα. Исключая случай φ = π/2, в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα. Поэтому tgφ = lim tgα. По формуле для СМ имеем: tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx Переходя к пределу при Δx0 (точка М при Δx 0 неограниченно приближается к С, а угол αφ), имеем: Следовательно, tgφ=f '(x)

Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точ­ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Напишем тождество:Δy=(Δy/Δx)*Δx так как всегда считаем Δx 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бес­ конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е. lim Δy = 0 Δ x0 Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция: y = |х| в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда c = 0; Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (c * f(x)) = c * (f(x)); Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x); Производная произведения: (f(x) * g(x)) = f (x) * g(x) + f(x) * g (x); Производная частного: (f(x)/g(x)) = (f (x) * g(x) – f(x) * g (x))/g 2 (x), g(x)0 Производная сложной функции: [f(g(x))] = f(g(x))*g(x)

Если в промежутке a

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a

у = х 3 х 2 8х + 2. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х 3 х 2 8х + 2. Решение. Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна: у' = Зх 2 2х 8. Корни трехчлена: x=( )/3=(1 + 5)/3; x 1 = - 4/3, x 2 =2. Отсюда: у' =3(х+4/3)(х-2). Множитель x + 4/3 отрицателен при х - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка: 1)

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с. 2. Функция f(x) имеет при x=с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум". Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Необходимое y=f(x) x=x f´(x)=0 Следствие: Необходимое Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f´(x)=0 Следствие: Если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно. Достаточные f(x) x x= x x Достаточные Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме самой точки x). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x= x функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если а) f´(x)>0 при x x то в точке x функция имеет максимум б) f´(x) 0 при x> x то в точке x функция имеет минимум

Например, функция у = х 3 имеет в точке x = 0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х 3 при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками.

1) найти производную данной функции; 2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их по их величине от меньшего к большему; 3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками; 4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нее, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум; если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.

Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 х 2 х 3 x 4 /4. Решение. 1. Находим первую производную: y ' = - 2х - Зx 2 x 3 2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение: 2x3x 2x 3 =0, или x(x 2 +3х+2) = 0, отсюда x = 0 или x 2 + 3х + 2 = 0. Решая квадратное уравнение x 2 + 3х + 2 = 0, получаем: x = (-3 + 1)/2. Стационарных точек три: x 1 = 2, x 2 = 1 и х 3 = Находим вторую производную: у" = 2 - бx Зx Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной точке: при х = 2; у'' = 26(2)3(2) 2 = 2, при х = 1; у"= 26(1)3( l) 2 =+ 1, при x = 0; у" = 2. Следовательно, данная функция имеет минимум при х = 1 и максимум при х = 2 и при х=0

В целом предположим, что функция f(х) непрерывная на отрезке [a; b] и что функция имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка. Чтобы на отрезке [a; b] найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо: 1) найти значения функции в концах отрезка, т.е. числа f(а) и f(b); 2) найти значения функции в стационарных точках, которые принадлежат интервалу (a; b); 3) выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Задача. Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая. 1) Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен 36/х. 2) Сумма этих чисел равна х + 36/х. 3) По условия задачи х – положительное число. Итак, задача сводится к нахождению значения х – такого, при котором функция f(х) = х + 36/х принимает наименьшее значение на интервале х > 0. 4) Найдем производную: f´(х) = 1 – 36/х 2 =((х + 6)(х – 6))/ х 2. 5) Стационарные точки х 1 = 6, х 2 = –6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х=6 производная меняет знак «–» на знак «+», и поэтому х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция f(х) = х + 36/х принимает в точке х = 6 (это значение f(6) = 12). Ответ. 36 = 66.

вогнутой вверх (вниз) Определение.В промежутке а < х < b кривая график дифференцируемой функции y=f(x) называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а

точкой перегиба Определение. Если в некоторой окрестности точки х = с кривая график дифференцируемой функции y=f(x) имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х=с называется точкой перегиба

1) найти вторую производную данной функции; 2) приравнять ее нулю и решить полученное, из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему; 3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями; 4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и вниз кривых: 1) у = lп х. Р е ш е н и е. Находим вторую производную: y '=1/x; y ''=-1/x 2. При всяком значении x = (0 < х

Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s=f(t), где t время. Скорость v в момент времени t есть производная от пути по времени, т. е. v=ds/dt. Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а, a=(v)' = (ds/dt)' = (d 2 s/dt 2 ). Вторая производная Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Производная нашла широкое применение: а) в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций; б) в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения, плотности неоднородного тела и др. в) в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной к кривой, а также в геометрии, астрономии, аэродинамике, химии и экономике, биологии и медицине

Спасибо за внимание!!!