ЗАДАЧА О МИНИМИЗАЦИИ ВРЕМЕНИ НА ВОССТАНОВЛЕНИЕ УДАЛЕННОЙ БИОМАССЫ

Модель Ферхюльста - Пирла 2 Пусть свободное развитие популяции ( без изъятия биомассы ) описывается логистической моделью Ферхюльста - Пирла : (1) где мальтусовский коэффициент прироста, K « емкость среды », (, K const > 0 ). Решением задачи (1) является функция (2) Если N 0 < K, то N(t) монотонно возрастает и

Динамика популяции при свободном развитии 3 0 t N K N0N0

4 0 t N K N0N0 Обратная к N(t) функция позволяет найти время, которое требуется на увеличение биомассы с начального уровня N 0 до уровня N. K/2K/2

Динамика популяции при свободном развитии 5 0 t N K N0N0 Время, которое требуется на увеличение биомассы с начального уровня N 0 до уровня N равно : (3)

Постановка задачи 6 Пусть запланировано извлечь из популяции заданное количество биомассы путем нескольких последовательных дискретных воздействий. Обозначим это количество через I. Естественно предположить, что величины биомассы, извлекаемые в каждый момент времени ограничены снизу, т. е. I 0 I i, i = 1, 2, 3, …, где 0 < I 0 < K. Задача состоит в следующем : Найти моменты 1, 2, 3, … импульсного извлечения биомассы и величины изымаемой биомассы I 1, I 2, I 3, … в эти моменты времени, так чтобы суммарное время восстановления биомассы было минимальным.

0 t N K Динамика популяции при импульсном изъятии биомассы 7 I1I1 I2I2 I3I3 I4I4 I5I5 +I1+I1 +I2+I2 +I3+I3 +I4+I4 +I5+I5

0 t N K Удаленная биомасса : Время на восстановление :

Время увеличения биомассы 9 0 (N, I) N+IN+I K N0N0 Время, необходимое на увеличение биомассы с уровня N до N+I, определяется функцией : (N, I) = t(N+I) – t(N). С помощью нее можно определить и время, необходимое на восстановление удаленной биомассы в объеме I. N t

Время на восстановление удаленной биомассы 10 0 (N, I) N+IN+I K N0N0 N -I N0N0 t

Время на восстановление удаленной биомассы 11 0 (N, I) N+IN+I K N0N0 Время, необходимое на восстановление удаленной биомассы : (4) Функция (N, I) определена при I [0; K) и N (0; K – I). N N0N0 t

Вспомогательные неравенства 12 Лемма 1. Для I 1, I 2 (0; K) справедливо следующее неравенство : (5) Равенство имеет место только, если I 1 = I 2. Лемма 2. Для I i > 0, i =1, 2,…, n, таких, что I 1 + I 2 + … + I n = I < K, справедливо следующее неравенство : (6) Равенство имеет место только, если n = 1.

Вспомогательные неравенства 13 Лемма 3. Если 0 < I < K и 1 m n, то справедливо следующее неравенство : (7) Равенство имеет место только, если n = m. Лемма 4. Пусть f : R R и для любых I 1, I 2 R имеет место неравенство тогда для любых n 2 и I 1, I 2, …, I n R справедливо следующее неравенство : (8)

Свойства функции (N, I) 14 Теорема 1. Если 0 < I < K и 0 < N < K – I, то справедливо следующее неравенство : (9) Функция (N, I) принимает минимальное значение когда и при этом (10) Теорема 1 позволяет сделать вывод о том, что время восстановления биомассы, изъятой в объеме I* в момент времени *, будет минимально, если (11) Импульсное изъятие биомассы в объеме I* в момент времени *, для которого выполнено равенство (11) будем называть центральным воздействием.

Центральное воздействие 15 0 K (K + I*)/2 -I* t (K – I*)/2 K/2 * При центральном воздействии с объемом изымаемой биомассы I* в момент времени *:

Свойства функции (N, I) 16 Теорема 2. Если I i > 0, i = 1,2, …, n и I 1 + I 2 + … + I n = I < K, то для любых N (0; K – I) справедливо следующее неравенство : (12) Теорема 2 показывает, что время восстановления биомассы I, изъятой произвольным внешним воздействием не меньше, чем суммарное время, необходимое для восстановления той же самой биомассы, извлеченной за несколько центральных импульсных воздействий.

Свойства функции (N, I) 17 Теорема 3. Если 0 < I 1, I 2 < K, то справедливо следующее неравенство : где (13) Теорема 3 позволяет сделать вывод о том, что время восстановления биомассы в количестве I 1 + I 2, изъятой за два центральных воздействия с величинами изымаемой биомассы I 1 и I 2, не меньше, чем время восстановления того же объема биомассы, извлеченной за два центральных воздействия с величинами изымаемой биомассы, равной I*.

Свойства функции (N, I) 18 Теорема 4. Если 0 < I 0 I i < K, 0 < N i < K – I i, i = 1, 2, …, m, и, кроме того, nI 0 I < (n + 1)I 0, где I = I 1 + I 2 + … + I m и n – положительное целое, то справедливо следующее неравенство : (14) Теореме 4 можно дать следующую интерпретацию. Пусть из популяции изъято биомассы объемом I путем дискретных внешних воздействий. Кроме того, предполагается, что величина биомассы, которая может быть извлечена за один момент времени ограничена снизу положительной константой I 0. Пусть n – наибольшее целое, меньшее или равное. Тогда минимальное время восстановления биомассы I, извлеченной из популяции, достигается при n центральных воздействиях с объемом извлекаемой биомассы

Модель оптимального режима изъятия 19 Оптимальность понимается в смысле наискорейшего восстановления величины биомассы, изъятой из популяции. Пусть имеют место следующие условия : 1.0 < I 0 I i < K, I = 1, 2, …, 2.I 1 + I 2 + … = I > I 0, 3.nI 0 I < (n+1)I 0, где n Z + ; 4.0 < N 0 < K/2. Эти условия совпадают с условиями теоремы 4. Тогда согласно теореме 4 оптимальный режим импульсных извлечений обеспечивается при центральных воздействиях с равными величинами изымаемой биомассы.

При этом динамика популяции описывается следующей моделью с импульсными условиями : где 1, 2, 3, …, n – моменты импульсных изъятий, образующих арифмети - ческую прогрессию, для которой ее первый член 1 – это момент времени, когда при свободном развитии популяции ее биомасса достигает величины, равной а знаменатель – это время восстановления удаленной биомассы в объеме Модель оптимального режима изъятия 20

Моменты импульсных изъятий 21 Найдем 1 по формуле : Для остальных моментов времени имеем : где Следовательно, моменты импульсных изъятий :

Минимальное время восстановления удаленной биомассы 22 Время на восстановление удаленной биомассы при оптимальном режиме изъятия равно :