Числовые ряды Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (продолжение) Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Свойства абсолютно сходящихся рядов Оценка остатка ряда

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Предельный признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами: Для этих рядов справедливо: Ряды U n и V n одновременно сходятся и расходятся.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример Выберем для сравнения ряд: Ряд V n - обобщенный гармонический ряд вида расходится, так как k = 1. ряд U n – также расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Ряды вида Вопрос о сходимости рядов такого вида, где P m (n) – многочлен степени m, Q l (n) – многочлен степени l, полностью исчерпывается сравнением с рядом где k = l – m. Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной форме.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример Выберем для сравнения ряд: Ряд V n - обобщенный гармонический ряд вида сходится, так как k = 2 >1. ряд U n – также сходится.

Знакопеременные ряды Пусть дан знакопеременный ряд: Обозначим: Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены называются знакопеременными (1) (2) – ряд составлен из положительных членов ряда (1) с сохранением порядка их следования. Обозначим: (3) – ряд составлен из модулей отрицательных членов ряда (1). Рассмотрим также ряд (4) – ряд составлен из модулей всех членов ряда (1).

Знакопеременные ряды Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (1), (2) и (3). При этом сумма данного ряда (1) равна Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4). Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд (4), расходится. Теорема Определения

Знакочередующиеся ряды Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно. Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда является признак Лейбница. (1) Знакочередующийся ряд (1) сходится если: Теорема (2) (3) При этом сумма этого ряда удовлетворяет условию: положительные числа (модули членов ряда)

Знакочередующиеся ряды Вычислим отдельно частичные суммы ряда (1) с четным и нечетным числом слагаемых. Доказательство С учетом (2) выражения в скобках положительны, значит S 2n > 0, кроме того S 2n монотонно возрастает т.к.

Знакочередующиеся ряды Выражения в скобках положительны и а 2n > 0, поэтому справедливо: запишем S 2n в виде: Таким образом, последовательность S 2n возрастает и ограничена сверху, значит она имеет предел причем S > 0

Знакочередующиеся ряды Найдем предел: Поэтому ряд сходится для любого числа слагаемых. Рассмотрим частичные суммы для нечетного числа слагаемых: предел равен нулю по условию теоремы

Знакочередующиеся ряды Исследовать на сходимость ряд: Пример 1 ряд сходится. Для этого ряда справедливо: Данный ряд сходится условно, так как ряд, составленный из модулей членов ряда - расходится

Знакочередующиеся ряды Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: Пример 2 ряд сходится. Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница:

Знакочередующиеся ряды Исследуем ряд, составленный из модулей: Используем предельный признак сравнения: Выберем для сравнения ряд: обобщенный гармонический ряд сходится, так как k = 3 >1. Ряд сходится, значит исходный ряд сходится абсолютно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой его членов также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S 1 и S 2 можно почленно складывать (вычитать). При этом получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S 1 +S 2 (S 1 - S 2 ). Под произведением двух рядов и понимают ряд вида: Произведение абсолютно сходящихся рядов с суммами S 1 и S 2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S 1 S 2.

Оценка остатка ряда Соотношение 0 < S < a 1 из теоремы Лейбница позволяет получить оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму знакочередующегося ряда его частичной суммой S n. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд: SnSn Сумма этого ряда по модулю меньше первого члена ряда: Таким образом, абсолютная погрешность приближения: меньше первого отброшенного члена ряда. rnrn

Оценка остатка ряда Вычислить приближенно сумму ряда, взяв первых пять членов ряда. Оценить погрешность приближения. Пример