Многогранники

Многогранники

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Многогранники выпуклые невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Тела Кеплера- Пуансо

выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

Правильные многогранники Сколько же их существует?

Тетраэдр Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.тетраэдр

Октаэдр- Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Октаэдр- восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками. октаэдра

Икосаэдр Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. икосаэдра Икосаэдр- двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Куб или правильный гексаэдр Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник. кубагексаэдром Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Додекаэдр- Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся. додекаэдра Додекаэдр- двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» - 12

Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р - -- число его рёбер и Г --- число граней. Тогда верно равенство В+Г=2+Р Правильный многогранник Число граней Г вершин В рёбер Р Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Эти тела еще называют телами Платона Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы.

огонь тетраэдр водаикосаэдр воздух октаэдр землягексаэдр вселенная додекаэдр додекаэдр

Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Тела Архимеда

Тела Кеплера - Пуансо Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.невыпуклых однородных многогранниковплатоновых тел Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.однородные многогранники

Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр

Многогранники в архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц.

Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн.

Александрийский маяк Александрийский маяк. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

Многогранники в искусстве Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер ( ), в известной гравюре ''Меланхолия ' на переднем плане изобразил додекаэдр.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Кристалл сульфата меди IIКристалл алюмокалиевых квасцов Кристалл сульфата никеля II

Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их мнениях относительно формы вирусов.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

По горизонтали: 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдра. 3. Боковая грань усеченной пирамиды. 4. Правильный многогранник. По вертикали: 2. Граница многогранника. 5. Правильная треугольная пирамида. 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания четыре пятиугольник трапеция о октаэдр о в е х н с т ь т т р э д р в с т а