РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ГОРОДСКАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ, ЮНИОР» Признаки делимости целых чисел Автор: Левченко Ростислав, учащийся 5А класса Руководитель: Моисеева Галина Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Исторические сведения Признаки делимости на целые числа (широко известные) Признаки делимости на целые числа (известные не всем школьникам) Практическое применение признаков делимости Заключение Используемые источники Приложения

Да, много решено загадок От прадеда и до отца И нам с тобой продолжить надо Тропу, которой нет конца. В. Ноздрев

Объект исследования – числа и действия с ними Предмет исследования – признаки делимости целых чисел Гипотеза: если мы можем без труда определить признаки делимости на 2, на 5, на 10, то возможно существуют признаки делимости на 7, 11, 13, 6, 12, 15,25,50 и т. д. Актуальность состоит в рассмотрении признаков деления, которые изучают в школе и те которые не предусматриваются школьной программой. Надеюсь, люди, которые будут читать эту работу, узнают для себя много нового, как и я. Цель работы: Овладеть признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы. Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи: изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел»; расширить и углубить свои знания по этой теме; выяснить, когда у людей возникла проблема деления чисел нацело; кто из учёных первыми сформулировали признаки делимости; рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел; подобрать серию задач, связанных с признаками делимости чисел для самостоятельного решения. Методы исследования: в работе применялись теоретические методы: анализ, синтез, сравнение, наблюдение и реферирование, анкетирование, интервью с людьми различных профессий так же использовался поиск в сети Интернет. Основными источниками являлись «Энциклопедический словарь юного математика», «Математический энциклопедический словарь» и «Математическая энциклопедия».

Признаки делимости широко известные школьникам

Признаки делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Например: делится на 2, так как его последняя цифра 8 – четная.

Признаки делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: делится на 3, так как сумма его цифр =15 делится на 3.

Признаки делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). Например: делится на 5,так как последняя его цифра 0.

Признаки делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например: делится на 9,так как =27 делится на 9.

Признаки делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль. Например: делится на 10, так как последняя его цифра 0.

Признаки делимости на целые числа (известные не всем школьникам)

Признаки делимости на 4 Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр делится на 4. Например: делится на 4,так как последние две его цифры 12 делятся на 4.

Признаки делимости на 6 Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Например: делится на 6,так как оно четное ( значит делится на 2) и сумма цифр = 18 (значит делится на 3 ).

Признаки делимости на 7 Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Например: 364 делится на 7, так как 36 (2 × 4) = 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули, или образуют число, которое делится на 8. Например: делится на 8, так как последние три цифры 800 делятся на 8.

Признаки делимости на 11 На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11. Например: число делится на 11, так как сумма цифр, занимающих четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12

Признаки делимости на 12 Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Например: делится на 12, так как последние две цифры 20 ( значит делится на 4) и сумма цифр = 33 (значит делится на 3).

Признаки делимости на 13 Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13. Например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.

Признаки делимости на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например: делится на 14, так как оно четное ( значит делится на 2) и 947 – 632 = 315 делится на 7.

Признаки делимости на 15 Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. Например: делится на 15,так как последняя цифра 0 (значит делится на 5) и сумма цифр = 33 (значит делится на 3).

Признаки делимости на 17 Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Например: = = = =34. Поскольку 34 делится на 17, то и делится на 17.

Признаки делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Например: 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

Признаки делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23. Например: делится на 23, так как (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 очевидно, делится на 23.

Признаки делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (т. е. последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75). Например: делится на 25,так как последние две цифры 50 делятся на 25

Признаки делимости на 50 Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 00 или 50. Например: делится на 50, так как последние две цифры 50.

Признаки делимости на 99 Число делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99. Например: делится на 99, так как сумма цифр = 198 делится на 99.

Признаки делимости на 101 Число делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, делится на 101, так как =101 делится на 101.

Признаки делимости на 125 На 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 125. Например: число делится на 125, так как последние три цифры числа 250 делятся на 125.

Практическая работа

1. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Решение: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Ответ: это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

2.Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24? Решение: Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24. Ответ: нет.

3. Не производя вычислений, определите, значение какого выражения делится на 2, на 7, на 10:а) ; б) ; в) Решение. Рассмотрим первое выражение. Сумма трех нечетных слагаемых - нечетное число, т.е. на 2 не делится. Все слагаемые делятся на 7, значит, сумма делится на 7. Последняя цифра суммы равна 7 (9+1+7 =17), т.е. на 10 не делится. Рассмотрим второе выражение. Второй множитель делится и на 2 и на 10, значит, и все произведение будет делиться на 2 и на 10. Ни один из множителей не делится на 7, значит, и произведение не делится на 7 (так как 7 – простое число). Рассмотрим третье выражение. Первое произведение делится и на 2, и на 7, и на 10. Очевидно, что второе произведение делится на 2 и не делится на 7, значит, и сумма делится на 2 и не делится на 7. Заметим, что последняя цифра произведения не может равняться 0, значит, оно не делится на 10, и сумма тоже не будет делиться на 10. Ответ: на 2 делятся значения выражений б) и в); на 7 - а); на 10 - б).

4. Преподаватели 6, 7 и 8 классов выстраивали детей на линейку. Когда детей попытались выстроить в четыре ряда, то осталось три бесхозных ребенка; когда выстраивали их по пять, оставалось – четыре; выстроив по шесть, остались – пять; и только, когда преподаватели додумались расставить их по семь, им это удалось. Сколько школьников получит наряд за опоздание на линейку, если известно, что в 6, 7 и 8 классах 150 учеников? Решение. Число детей, пришедших на линейку кратно 7, но не кратно 4, 5, 6. Проверяем числа, удовлетворяющие этим условиям и меньшие 150. Таких чисел: 7, 14, 21, 49, 63, 77, 91, 98, 119, 133, 147 (числа находим, умножая последовательно 7 на числа не кратные 4, 5, 6). Проверив, какие остатки остаются при делении на 4, 5, 6 находим, что на линейке было 119 детей. Значит, наряд за опоздание на линейку получит 31 ученик. Ответ: 31 ученик.

5. (из древнего трактата «Математика в девяти книгах») Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если (каждый) человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи. Решение. Пусть было х людей. Тогда стоимость вещи равна 8х -3 или 7х + 4. Решим уравнение: 8х -3 = 7х + 4, х = – 3 = 53. Было 7 человек, а стоимость вещи равна 53. Ответ: 7 человек, стоимость равна 53.

Заключение Кто хочет ограничиться настоящим без знаний прошлого, тот никогда его не поймет. Г. Лейбниц

Источники 1. Режим доступа: Режим доступа: Режим доступа: Математический портал Математику.ру 5. Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А. П. Савин.- М.: Педагогика, – 352 с.: ил. 6. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т.5. Слу – Я – М., «Советская энциклопедия», – 1248 стб., ил. 7. Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н.С.Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. - М.: Сов. Энциклопедия, с., ил. 8. Математический портал Математику.ру

Спасибо за внимание