Лекции по физике. Молекулярная физика и основы термодинамики Статистическая физика. Основные понятия

2 Статистический метод Суть статистического подхода заключается в замене полного описания состояния системы, включающей большое количество частиц, описанием с помощью небольшого числа параметров, характеризующих поведение системы как единого объекта

3 Статистический метод

4 Важную группу статистических параметров составляют средние значения случайных величин давление – средняя сила, действующая на единицу поверхности температура – среднее значение кинетической энергии частиц

5 Статистический метод Другую группу составляют параметры, характеризующие отклонения истинных значений физических величин от среднего (флуктуации) Флуктуации возникают из-за дискретной структуры вещества Чем больше частиц в системе и диапазон в котором производится усреднение (период, площадь и т.д.), тем меньше флуктуации

6 Функции распределения Чтобы вычислить среднее значение и флуктуацию случайной величины с помощью математических методов, необходимо знать функцию распределения этой случайной величины или, другими словами, функцию, описывающую вероятность, с которой случайная величина принимает то или иное значение. Таким образом, функции распределения случайных величин играют ключевую роль в молекулярной физике

7 Функции распределения Дискретные Непрерывные Дискретная функция распределения описывает вероятность W, с которой случайная величина может иметь одно из возможных дискретных значений Если случайная величина меняется не дискретным, а непрерывным образом, то она описывается непрерывной функцией распределения

8 Функции распределения В дискретном случае среднее значение случайной величины определяется по формуле: где W i – вероятность обнаружения значения x i случайной величины Х

9 Функции распределения Для непрерывной функции распределения: где (х) – плотность вероятности (функция распределения) обнаружения значения х случайной величины Х

10 Функции распределения Вероятность того, что случайная величина имеет хоть какое-то значение из всех допустимых, должна быть равна единице. Отсюда следует важное свойство функций распределения, называемое условием нормировки. В дискретном случае: В случае непрерывного распределения:

11 Функции распределения Равномерное распределение. В этом простейшем случае вероятности (или плотность вероятности) одинаковы в некотором диапазоне значений и равны нулю вне его. Равномерное распределение может быть как непрерывным, так и дискретным х W x 1,5 1,0 0,5 0 1,01,52,02,5

12 Функции распределения Простейшая модель статистической системы с равномерной функцией распределения – частица в ящике 12 x

13 Функции распределения Система, состоящая из двух одинаковых частиц, движущихся хаотически в ящике Положение центра масс системы описывается треугольной функцией распределения 12 х х

14 Статистическое описание системы частиц Рассмотрим взаимосвязь макроскопических параметров, описывающих состояние системы, с параметрами, описывающими состояние отдельных частиц Состояние макроскопического тела, заданное с помощью макроскопических параметров, называется макросостоянием Состояние макроскопического тела, охарактеризованное наиболее подробным образом, т.е. заданием координат и скоростей всех частиц, называется микросостоянием

15 Статистическое описание системы частиц Каждое макросостояние может быть реализовано различными микросостояниями. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию называется статистическим весом или термодинамической вероятностью макросостояния То макросостояние, которое является наиболее вероятным, соответствует термодинамически равновесному состоянию Важнейшей задачей статистической физики является отыскание такого распределения частиц системы по скоростям и координатам, которое соответствует термодинамическому равновесию

16 Статистическое описание системы частиц Четыре возможных микросостояния системы из двух частиц в замкнутом объёме, разделённом на две равных части

17 Статистическое описание системы частиц Функция распределения вероятности попадания n частиц из двух в половину объёма сосуда Функция распределения вероятности попадания n частиц из четырёх в половину объёма сосуда W n W n

18 Статистическое описание системы частиц макрососто яния микросост ояния частицы в области I частицы в области II число микросо стояний вероятность W 11-abcd11/ abcdabcd bcd acd abd abc 44/16=1/ ab ac ad bc bd cd bd bc ad ac ab 66/16=3/ abc abd adc bcd dcbadcba 44/16=1/4 516abcd-11/16

19 Статистическое описание системы частиц Соотношение вероятностей различных макросостояний в нашем примере такое же, как соотношение слагаемых бинома: где p – доля выделенной подсистемы, а q – доля второй подсистемы (p+q=1)

20 Статистическое описание системы частиц Обобщая полученные результаты, мы можем заключить, что количество молекул идеального газа, находящихся в выделенном объёме замкнутой системы (в отсутствии силовых полей) описывается биномиальным законом распределения.

21 Статистическое описание системы частиц Каждое слагаемое в формуле бинома можно представить в виде двух величин – статистического веса: и множителя, учитывающего вероятности реализации микросостояний, составляющих макросостояние: A N (n)= p n q N-n

22 Статистическое описание системы частиц WW W W W nnn nn Функция распределения вероятности попадания n частиц из 60 в половину (а), в 0.4 часть (б), в 0.3 часть (в), в 0.2 часть (г) и в 0.1 часть объёма сосуда (д). aб в гд

23 Статистическое описание системы частиц Проведённое рассмотрение функции распределения позволяет объяснить существование теплового равновесия и природу флуктуаций Равновесное состояние системы, являющееся наиболее вероятным из макросостояний, определяется двумя факторами: Статистическим весом макросостояния Вероятностью микросостояний из которых складывается макросостояние.

24 Статистическое описание системы частиц В качестве характеристики флуктуаций какой-либо термодинамической величины, берут среднеквадратичное отклонение этой величины от её среднего значения:

25 Статистическое описание системы частиц Можно показать, что относительная флуктуация аддитивной величины обратно пропорциональна квадратному корню из числа молекул N, входящих в систему:

26 Распределение Гаусса Нормальное распределение или распределение Гаусса часто встречается при рассмотрении систем многих частиц биномиальное распределение в пределе больших чисел N стремится к нормальному согласно центральной предельной теореме теории вероятностей оно описывает распределение случайной величины Х, являющейся суммой большого числа случайных величин X i :

27 Распределение Гаусса Нормальная функция распределения описывается формулой: где a и - параметры распределения

28 Распределение Гаусса Функция распределения Гаусса со средним значением 30, и стандартным отклонением 10 f(x) x

29