На дне глубокого сосуда Лежат спокойно n шаров. Поочередно их оттуда Таскают двое дураков. Сия работа им приятна, Они таскают t минут, И, вынув шар, его обратно Тотчас немедленно кладут. Ввиду занятия такого, Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул k? В. П. Скитович

Испытание, в результате которого ожидается наступление интересующего нас события, можно многократно повторять. Главный вопрос каждого повторения – произойдет или не произойдет это событие? А во всей серии повторений важно знать, сколько именно раз оно может произойти или не произойти. Например, какова вероятность, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил подобные вопросы в единую вероятностную схему, которую принято называть схемой Бернулли.

27 декабря 1654, Базель, 16 августа 1705, там же швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года).

Рассматривают n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна p, а вероятность неудачи равна q. Известна формула – p+q=1. Требуется найти вероятность P n (k) того, что в этих повторениях произойдет ровно k «успехов».

При n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами более кратко говорят как об n испытаниях Бернулли

Вероятность P n (k) наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле P n (k)=C k p k q n-k, где p – вероятность «успеха», а q=1-p – вероятность неудачи в отдельном испытании. n

Каждый из 4 приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что: а) каждому достался тот вопрос, который он выучил; б) никому не достался вопрос, который он выучил; в) только одному достался вопрос, который он не выучил; г) хотя бы одному достался вопрос, который он выучил.

Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей одинакова: она равна 5/20=0,25. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с n = 4 испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p=0,25. а) В этом случае k=n=4 и поэтому P 4 (4)=C 4 p 4 q 4-4 =0,25 4 0,004. б) В этом случае k=0 и поэтому P 4 (0)=C 0 p 0 q 4-0 =0,75 4 0,316. в) Здесь k=3 и поэтому P 4 (3)=C 3 p 3 q 4-3 =4*0,25 3 *0,75 0,047. г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т.е. что произошло k=0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 1-P 4 (0)=1-0,75 4 0,

Найти вероятность того, что при десяти бросаниях игрального кубика «четверка» выпадет ровно три раза

В данном примере формула Бернулли доказывается, а не применяется для вычислений. В данном примере n=10, k=3, а «успех» состоит в выпадении «четверки» при одном бросании, поэтому p=1/6, q=5/6. Обозначим А 123 событие, состоящее в том, что «четверка» выпадет только при первом, втором и третьем бросаниях. Вероятность этого события: P(A 123 )=N(A 123 )/N. По правилу умножения при 10 независимых бросаниях кубика имеется N=6 10 равновозможных исходов. Найдем N(A 123 ), т.е. количество тех исходов, в которых наступает событие A 123. Для первых трех бросаний имеется по одному возможному исходу, а для всех остальных бросаний имеется ровно по 5 исходов: может выпасть 1, 2, 3, 5 или 6. По правилу умножения получаем, что N(A 123 )=1*1*1*5*5*…*5=5 7. Значит, P(A 123 )=N(A 123 )/N=5 7 /6 10 =(1 3 *5 7 )/(6 3 *6 7 )=(1/6) 3 *(5/6) 7 =p 3 q 7.

Обозначим A 279 событие, состоящее в том, что»четверка» выпала только при втором, седьмом и девятом бросаниях кубика. Вероятность P(A 279 ) находится точно так же, как и вероятность P(A 123 ). Такой же ответ получается и для событий A 134, A 458, A 567, …, и для любого события A xyz, состоящего в том, что «четверка» выпала именно при бросаниях с номерами x, y, z. Все события A xyz между собой попарно несовместны. Вероятность P(A xyz ) каждого из событий A xyz равна p 3 q 7. Количество этих событий равно количеству выборов трех номеров из 10 данных без учета порядка, т.е. равно С 3. По теореме суммы для нахождения вероятности несовместных событий получаем: P(A)=p 3 q 7 + p 3 q 7 + … + p 3 q 7 =C 3 p 3 q 7. C 3 раз 10

Таблица распределения вероятностей числа «успехов» в n испытаниях Бернулли. … 012 qnqn npq n-1 C 2 p 2 q n-2 k C k p k q n-k n-1n np n-1 qpnpn nn

Если сложить все числа второй строки предыдущей таблицы, то получится 1: 1=C 0 q n +C 1 pq n-1 +…+C k p k q n-k +…+C n-1 p n-1 q+C n p n. Можно отметить, что данное равенство есть частный случай формулы бинома Ньютона: (q+p) n = C 0 q n +C 1 pq n-1 +…+C k p k q n-k +…+C n-1 p n-1 q+C n p n По этой причине распределение числа «успехов» в испытаниях Бернулли по вероятности их наступления, как правило, называют биномиальным распределением. nnnnn nnnnn

Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок производит независимо 5 выстрелов. Составить таблицу распределения вероятностей числа попаданий. Найти вероятность того, что стрелок ни разу не промахнется.

По условию, n=5; p=0,4; q=0,6; k=0,1,2,3,4,5: P 5 (0)=C 0 p 0 q 5 =0,6 5 0,078; P 5 (1)=C 1 pq 4 =5*0,4*0,6 4 0,259; P 5 (2)=C 2 p 2 q 3 =10*0,4 2 *0,6 3 0,346; P 5 (3)=C 3 p 3 q 2 =10*0,4 3 *0,6 2 0,23; P 5 (4)=C 1 p 4 q=5*0,4 4 *0,6 0,077; P 5 (5)=C 5 p 5 q 0 =0,4 5 0, ,0780,2590,3460,230,0770,

«Ни разу не промахнется» - это значит, что стрелок поразит мишень все 5 раз, т.е. k=5. Из таблицы следует, что Вероятность примерно равна 0,01. таблицы

Сведения, собранные в таблице предыдущей задачи можно изобразить на графике x y ,1 0,2 0,3 0,4

Ломаную, соединяющую отмеченные на графике точки, называют многоугольником распределения.

Последовательность чисел P n (0), P n (1), P n (2),…, P n (k),…, P n (n-1), P n (n) сначала возрастает, а затем, приняв наибольшее значение, убывает. Только в некоторых специальных случаях наибольшее значение достигается не для одного, а для двух соседних значений k. Можно доказать, что вероятность P n (k) принимает наибольшее значение при значении k, равном ближайшему к np-q справа целому числу. Если же само число np- q целое, то наибольшее значение вероятность принимает для двух значений k: для k=np-q и для k=np+p.

Найти наивероятнейшее число выпадений решки при: а) 100 бросаниях монеты; б) 1001 бросании монеты.

а) В данном случае n=100, p=q=0,5. Тогда число np-q=100*0,5-0,5=49,5 – не целое. Ближайшее к нему справа целое число равно 50. Оно равно половине числа всех бросаний и является наивероятнейшим числом выпадений решки. б) в данном случае n=1001, p=q=0,5. Тогда число np-q=1001*0,5-0

Наиболее вероятное число «успехов» в n испытаниях Бернулли приближенно равно np, где p – вероятность «успеха» в отдельном испытании. Например, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1, а вы провели 143 повторения этого испытания, то наивероятнейшее число «успехов» равно 143*0,114. При таком грубом подсчете ошибка возможна, но она невелика.

Для того, чтобы найти наивероятнейшее число k наивер. «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха» равной p, следует: 1) вычислить число np; 2) от числа np на координатной прямой отложить q влево и p вправо; 3) целое число, лежащее на отрезке [np- q;np+p] единичной длины, и будет равно k наивер. ; если таких целых чисел 2, то k наивер. может равняться любому из них.

Кузнецов Игорь ученик 11 Б класса МОУ «Гимназия 11»