заглавие Статистическое моделирование в задачах регионального переноса атмосферных примесей.

Динамическая модель Исходный вектор X Связь Y(X) Конечный вектор Y Исходный вектор обычно включает характеристики начального состояния системы и параметры, определяющие ее эволюцию во времени. Конечный вектор представляет собой совокупность интересующих исследователя величин.

Статистическая модель Случайный процесс X Связь Y(X) Случайный процесс Y По известным параметрам процесса X требуется определить параметры процесса Y. Тривиальный пример X: N(m, σ 2 ) - нормальное распределение Y=aX Тогда Y : N(am,a 2 σ 2 )

Уравнение атмосферной диффузии q i – концентрация i-ой примеси; K x, K y, K z – коэффициенты турбулентной диффузии; a i,j – скорости реакций первого порядка (включая вымывание); b i,jk – скорости реакций второго порядка; Q i – мощность источника i-ой примеси. - субстанциональная производная u, v, w – компоненты скорости ветра

Модель облачности: параметры Климатологический справочник: N c (c) – количество дней с облачностью в зависимости от балла Дополнительно: L c – средняя ширина облачного слоя T c – средняя продолжительность облачного периода

Схема Бернулли Проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых вероятность осуществления события равна p. Тогда, вероятность того, что событие произойдет в (k+1)-ом испытании: Средняя длина последовательности испытаний до наступления события:

Цепи Маркова Однородная цепь Маркова с конечным числом состояний – это стохастический процесс в котором: для определения вероятностей состояний на (n+1)-ом, (n+2)-ом …. шагах достаточно знать вероятности состояний на n-ом шаге; вероятности переходов из одного состояния в другое p ik не зависят от номера шага. Цепь называется регулярной, если вероятность попадания из любого состояния в любое за конечное число шагов отлична от нуля. Если P – переходная матрица регулярной цепи, то: для любого π последовательность P n π сходится к единственному вектору α; справедливо равенство Pα = α.

Модель облачности: вероятность слоя(1) Считаем известной P p – вероятность облачности в квадрате сетки; длину стороны квадрата сетки считаем равной 1. 0nxnx L c /2 Для слоя параллельного оси y: положение центра слоя равновероятно в пределах от –L c /2 до n x +L c /2. Тогда вероятность того, что слой накрывает квадрат: P Lx – вероятность существования слоя, параллельного оси y P Ly – вероятность существования слоя, параллельного оси x Аналогично, для слоя, параллельного оси x:

Модель облачности: вероятность слоя(2) Вероятности облачности, создаваемой слоями с разной ориентацией одинаковы: В каждый момент времени может существовать только один слой, отсюда: и можно ввести вероятности ориентации слоя: Вероятность попадания полосы на квадрат, т.е. вероятность наличия облачности в квадрате: или же:

Модель облачности: вероятности переходов(1) Появление и исчезновение слоев моделируется марковским процессом. Временной шаг процесса – Δτ. p(l|l) – вероятность сохранения облачного слоя; p(l|nl) – вероятность появления облачного слоя; p(nl|nl) – вероятность сохранения безоблачного неба; p(nl|l) – вероятность исчезновения облачного слоя. Очевидно: т.е. только две вероятности независимы. Среднее время существования облачного слоя (схема Бернулли, среднее время до наступления события):

Модель облачности: вероятности переходов(2) Продолжительности периодов с облачным слоем и без него за время T: С другой стороны, в соответствии со схемой Бернулли: Приравнивая и используя: получаем:

Для марковского процесса с двумя состояниями (облачно/безоблачно) вероятность нахождения в состоянии «облачно»: Модель облачности: вероятность облачности в квадрате сетки Определение дня с облачностью: облачность существует в один из периодов наблюдения в течение суток. Тогда, вероятность ясного дня: С другой стороны: Подставляя и учитывая получаем уравнение для p(nc|nc), что дает возможность определить P p

Модель осадков: параметры Осадки генерируются независимо в каждом квадрате сетки, в котором присутствует облачность более 4 баллов. Схема генерации – марковский процесс с одновременной генерацией интенсивности осадков I. Климатологический справочник: Q – годовая сумма осадков; T r – суммарная продолжительность осадков; N r – количество дождливых дней. Полагается, что вероятность осадков и вероятность возникновения осадков линейно зависят от балла облачности j:

Модель осадков: распределения Распределение интенсивности осадков полагается экспоненциальным. I 0 – искомый параметр, зависящий от климатологических характеристик. Вводится коэффициент заполнения: часть территории, занятая осадками: Параметр I s полагается известным.

Модель осадков: уравнение для средней интенсивности Суммарное количество осадков за год (τ y – продолжительность года): Среднегодовая продолжительность осадков: Принимая, что от балла облачности зависят только вероятности, получаем уравнение для I 0 :

Модель осадков: вероятности осадков в квадрате Обозначим: Разрешая уравнение для Q относительно вероятности осадков: Используя линейную зависимость и суммируя по баллу облачности: т.е.

Модель осадков: вероятности возникновения осадков Вероятность дня с баллом облачности j без осадков: С другой стороны: Приравнивая, умножая на вероятность балла облачности и суммируя по баллам облачности: Это уравнение для

Модель осадков: вероятности прекращения осадков Соотношение между вероятностями переходов и вероятностями состояний для цепей Маркова: Отсюда: Переменные в правой части определены ранее, оставшиеся элементы матрицы переходов определяются как:

Модель поля ветра: параметры Поле ветра принимается однородным во всей расчетной области. Компоненты скорости ветра – случайные величины с гауссовым распределением. V 0 – модуль среднего вектора скорости ветра. Климатологический справочник: средняя скорость ветра U 0 ; роза ветров p i. Дополнительно: коэффициент корреляции между последовательными трехчасовыми измерениями скорости ветра равен 0,95.

Модель поля ветра: уравнения(1) Модель ориентирована на относительно однородную местность, так что можно считать розу ветров близкой к круговой. Для круговой розы ветров V 0 =0 и : Линейное приближение для отклонений от круговой розы ветров:

Отклонения среднего модуля скорости и дисперсий определяются из условия минимума функционала: Модель поля ветра: уравнения(2) при условии неизменности среднего модуля вектора скорости ветра: Изменения ветра во времени моделируются процессом авторегрессии: где x, y - распределенные по Гауссу случайные числа с нулевым средним и дисперсиями соответственно (1- 2 ) x 2 and (1- 2 ) y 2, i – номер интервала генерации, - коэффициент корреляции между соседними значениями.

Кольский полуостровКольский полуостров Пример