МОУ « Гимназия 1» г. Белгорода научно-исследовательская конференция учащихся Секция учащихся математики Нахождение наименьшего общего кратного чисел с помощью разрядных единиц. Формулы нахождения НОК чисел Исследовательский проект Ученицы 6 « Г» класса Копытиной Полины Руководитель,учитель математики Некрасова Галина Ивановна

Целью моей исследовательской работы является : 1) Установить возможность применения разрядных единиц для нахождения наименьшего общего кратного некоторых пар чисел при определенных условиях подбора их ; 2) Показать технологию отыскания наименьшего общего кратного чисел, записать формулу нахождения НОК для таких пар чисел ; 3) Проверить полученный результат на ряде упражнений ; 4) Показать использование данной технологии в курсе математики при изучении тем « Наименьшее общее кратное », « Действия с обыкновенными дробями », « Действия с многозначными числами » в основной и начальной школе в качестве дополнительной информации

План изложения Введение Глава 1 Технология отыскания НОК чисел 1.1 Задачи, показ решения нахождения НОК подобранных пар чисел с помощью разрядных единиц 1.2 Вывод формулы 1 Глава 2 Применение метода отыскания НОК для других групп чисел 1.1. Формула Задачи на отыскание других групп пар чисел для использования метода нахождения НОК по формуле 2 в упражнениях. Заключение

«В математике бесконечно много разнообразных соотношений между числами. Одни из них значительны и являются предметом серьезных исследований. Другие менее существенны: их свойства узки, единичны, но именно, своей исключительностью они иногда и привлекательны» Б.А. Кордемский Б.А. Кордемский

В начальной школе нас учили выполнять разложение чисел на разряды при выполнении действий сложения, вычитания с натуральными числами. В 5 классе мы тоже учитывали правильную запись разрядных единиц при сложении и вычитании. Для меня было открытием, когда случайно я обнаружила, что разрядные единицы играют не менее важную роль при нахождении НОК некоторых пар чисел.

Задача1: сложите две дроби 7/64 и 5/96 = Задача1: сложите две дроби 7/64 и 5/96 = Ответ: значение дроби равно 31/192 НОК(64;96)=10 НОК(6;9)+НОК(4;6) НОК(64;96)=96*2=192 Находим НОК 64,96) 1)НОК(6;9)=18 2)НОК(4;6)=12 18*10 +12=180+12=192 Нахождение НОК с помощью разрядных единиц 64=2*2*2*2*2*2=2 6 96=3*2*2*2*2*2=3*2 5 Универсальный метод нахождения НОК чисел

Задача2: сложите две дроби 7/24 и 1/36 Задача2: сложите две дроби 7/24 и 1/36 Запишем формулу для нахождения НОК пар для конкретных двузначных чисел в общем виде: С 1 =10а 1 +в 1 С 2 =10а 2 +в 2 НОК(С 1,С 2 )=10НОК(а 1,а 2 )+НОК(в 1,в 1 ) : Ответ: значение дроби равно 15/72 НОК(24;36)=10НОК(2;3)+НОК(4;6) 24=2* =3*10+6 С 1 =24, а 1 =2, в 1 =4 С 2 =36, а 2 =3, в 2 =6 НОК(24;36)=36*2=72 1)НОК(2;3)=62)НОК(4;6)=12 6*10 +12=60+12=72 Нахождение НОК с помощью разрядных единиц 24=3*2*2*2=3*2 3 36=3*3*2*2=3 2 *2 3 Универсальный метод нахождения НОК

Проверим пригодность формулы Проверим пригодность формулы НОК(С 1,С 2 )=10НОК(а 1,а 2 )+НОК(в 1,в 1 ) нахождения НОК двузначных чисел с помощью разрядных единиц для чисел 18 и 27. НОК(18;27)=10НОК(1;2)+НОК(7;8)=20+56=76 НОК(18;27)=10НОК(1;2)+НОК(7;8)=20+56=76 Результат не подтверждается. Результат не подтверждается.

Для себя я поставила задачу:существует ли в бесконечном мире чисел другие пары, для которых имеется возможность применить нахождение НОК чисел с помощью разрядных единиц и выполнить действия с обыкновенными дробями. Надо сказать,что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. В Древнем Египте при выполнении действий с обыкновенными дробями приходилось проявлять незаурядную изобретательность, а в школах Древнего Рима незаурядное искусство. Меня также заинтересовали аликвотные дроби. Древние египтяне«признавали» только аликвотные дроби и дробь 2/3. Путем сложения дробей 1/2+1/4 +1/6 они решили задачу « Как разделить 7 хлебов на 8 человек?" Я тоже в действиях с обыкновенными дробями предпочту аликвотные дроби, т.к. мы редко работаем с ними.

Универсальный метод нахождения НОК(77;88) Нахождение НОК (77;88) с помощью применения разрядных единиц 1) 77=7*11 2) 88=2*2*2*11= 2 3 *11 1)НОК(7,8)=56 2)56* = =616 НОК (77,88) =2 3 *7*11=616Или применяя формулу, получим: НОК(77,88)= 10 НОК (7,8) +НОК(7,8) Ответ: значение дроби равно 15/616 Запись двузначного числа в общем виде С=10а 1 +в 1, в нашем случае, С 1 = 10 а 1 +а 1 и С 2 = 10а 2 +а 2 при а 1 =в 1 и а 2 =в 2 Запишем формулу для нахождения НОК двузначных пар чисел в виде: 1.НОК(С 1,С 2 )= 10 НОК (а 1, а 2 ) + +НОК(а 1, а 2 ) или в другом виде НОК(С 1,С 2 )= (10+1) НОК (а 1,а 2 ) НОК(С 1,С 2 )=11 НОК (а 1,а 2 ) Сложим :1/88+1/77 ( в каждой дроби знаменатель записан одинаковыми цифрами, и НОД(7;8)=1)

Докажем формулу нахождения НОК чисел с помощью разрядных единиц (для конкретного случая) при условии, когда числа записаны одинаковыми цифрами и НОД цифр из которых составлены числа равно 1. НОК(77,88)= 10 НОК (7,8) +НОК(7,8) Доказательство Пусть НОК(77,88)=x, тогда х делится на 77 без остатка и х делится на 88 без остатка, x:77 x:88 x:77=b x:88=k x=77b x=88k 77b=88k b=8 k=7 X=11*7*8 x=11*8*7 X=56*(10+1)=10*56+56=10НОК(7,8)+НОК(7,8)

Далее рассмотрим нахождение НОК пар трехзначных чисел: 777,888 Универсальный метод нахождения НОК (777;888) Нахождение НОК(777;888) с помощью применения разрядных единиц 777=7* =2*2*2*111= 2 3 *111 1)НОК(7,8)=56 2)56* *10+56 = =6216 НОК( 777,888) =2 3 *7 *111=6216НОК(777,888)= 100НОК(7,8)+ +10НОК(7,8)+ +НОК(7,8) Запишем формулу нахождения НОК для трехзначных пар чисел в виде: 1.НОК(С 1,С 2 )= 100НОК (а 1,а 2 ) НОК(а 1,а 2 ) +НОК(а 1, а 2 ) или в другом виде НОК(С 1,С 2 )= ( ) НОК (а 1,а 2 ) НОК(С 1,С 2 )= 111 НОК (а 1,а 2 ) Запись трехзначных чисел в общем виде С=100а+10в+к,в нашем случае, С 1 = 100а 1 +10а 1 +а 1, при а 1 =в 1 =к 1 и С 2 = 100а 2 +10а 2 +а 2., при а 2 =в 2 =к 2

Доказательство формулы нахождения НОК для трехзначных чисел с помощью разрядных единиц аналогичные НОК(777,888)= 100 НОК (7,8)+10НОК(7,8)+ НОК(7,8) НОК(777,888)=x x:777 x:888 x:777=b x:888=k x=777b x=888k 777b=888k b=8 k=7 X=111*7*8 x=111*8*7 X=( )*56=100*56+10*56+56= =6116 Х=100НОК(7,8) +10НОК(7,8)+НОК(7,8)

Двузначное числоТрехзначное числоЧетырехзначное число С 1 = 10а 1 +в 1, а 1 =в 1 С 2 = 10а 2 +в 2, а 2 =в 2 С 1 = 100а 1 +10в 1 +d 1 С 2 = 100а 2 +10в 2 +d 2, а 1 =в 1 =d 1 и а 2 =в 2 =д 2 С 1 = 1000а в 1 +10d 1 +к 1 С 2 = 1000а в 2 +10d 2 +к 2, а 1 =в 1 =d 1 =к 1 и а 2 =в 2 =д 2 =к 2 Запишем эти числа при выбранных условиях и покажем технологию отыскания НОК чисел С 1 = 10а 1 +а 1 С 2 = 10а 2 +а 2 С 1 = 100а 1 +10а 1 +а 1 С 2 = 100а 2 +10а 2 +а 2, С 1 = 1000а а 1 +10а 1 +а 1 С= 1000а а 2 +10а 2 +а 2, Технология отыскания НОК ( С 1, С 2 ) 1) НОК ( а 1, а 2 ) 2)10НОК( а 1, а 2 )+ +НОК( а 1, а 2 ) Формула : 1. НОК( С 1, С 2 )= =10 НОК( а 1 а 2 ) + +НОК( а 1, а 2 ) или НОК( С 1, С 2 )= =(10+1) НОК( а 1, а 2 ) НОК(С 1 С 2 )=11НОК ( а 1,а 2 ) Технология отыскания НОК ( С 1, С 2 ) 1) НОК ( а 1, а 2 ) 2) 100 НОК( а 1, а 2 ) НОК( а 1, а 2 )+НОК( а 1, а 2 ) Формула : 1.НОК( С 1. С 2 )= 100НОК( а 1, а 2 ) + +10НОК( а 1, а 2 )+НОК(а 1,а 2 ) или. НОК( С 1, С 2 )= =( )*НОК( а 1, а 2 ) НОК( С 1, С 2 )= 111 НОК( а 1,а 2 ) Технология отыскания НОК ( С 1. С 2 ) 1) НОК ( а 1, а 2 ) 2)1000 НОК( а 1, а 2 ) НОК( а 1, а 2 )+ +10НОК(а 1, а 2 )+ НОК(а 1, а 2 ) Формула: 1.НОК ( С 1. С 2 )= 1000НОК( а 1, а 2 ) +100НОК( а 1, а 2 )+ +10НОК(а 1, а 2 )+ НОК(а 1, а 2 ) или НОК ( С 1 С 2 )= =( )НОК( а 1,а 2 ) НОК( С 1, С 2 )= 1 111НОК( а 1, а 2 )

Формулу нахождения НОК пар многозначных чисел с n количеством цифр с помощью разрядных единиц можно записать так: Формулу нахождения НОК пар многозначных чисел с n количеством цифр с помощью разрядных единиц можно записать так: НОК( С 1,С 2 ) = НОК (а 1,а 2 ) ( 10 n n n-3 +…… ), где С 1 = а 1 10 n-1 + a 1 10 n-2 + … а 1 С 1 = а 1 10 n-1 + a 1 10 n-2 + … а 1и С 2 = а 2 10 n-1 + a 2 10 n-2 + … а 2 С 2 = а 2 10 n-1 + a 2 10 n-2 + … а 2

Доказательство для многозначных чисел при тех же условиях в общем виде Доказать что: НОК( С1,С2 ) = НОК (а1,а2) ( 10 n n n-3 +…… ), С 1 = 10 n-1 а n-2 а n-3 а n-4 а 1 +…….+10 n-n а 1 С 2 =10 n-1 a n-2 а n-3 а n-4 а 2 +…….+10 n-n а 2 Доказательство Пусть НОК(С 1,С 2 )=x Тогда, 1)x:С 1 =x:(10 n-1 а n-2 а 1 +…..10 n-n а 1 )=в x:С 2 =x:(10 n-1 а n-2 а 2 +….10 n-n а 2 )=к 2)x= в*(10 n-1 а n-2 а 1 +….10 n-n а 1 ) х =k*(10 n-1 а n-2 а 1 +……10 n-n а 1 ) 3)в*(10 n-1 а n-2 а 1 +….+а 1 )=k*(10 n-1 а n-2 а 2 +…..+а 2 ) в а 1 (10+10+….+1)=k а 2 (10+10+….+1), отсюда в = а 2 k = а 1,,тогда x= а 1 *а 2 (10+10+…+1) х= а 2 *а 1 (10+10+…+1), так как НОД(а 1,а 2 )=1, то НОК(а 1,а 2 )=а 1 *а 2 х=НОК(а 1,а 2 ) (10+10+….+1)

Покажем использование данной технологии в курсе математики при изучении тем «Наименьшее общее кратное», « Действия с обыкновенными дробями», «Умножение многозначных чисел вида: Покажем использование данной технологии в курсе математики при изучении тем «Наименьшее общее кратное», « Действия с обыкновенными дробями», «Умножение многозначных чисел вида: С 1 = а 1 10 n-1 + а 1 10 n-2 + …..+ а С 1 = а 1 10 n-1 + а 1 10 n-2 + …..+ а С 2 = а 2 10 n-1 + а 2 10 n-2 + …..+ а » С 2 = а 2 10 n-1 + а 2 10 n-2 + …..+ а » Задача1.Используя формулу нахождения НОК с помощью разрядных единиц,найдите произведение чисел С 1 и С 2 Задача1.Используя формулу нахождения НОК с помощью разрядных единиц,найдите произведение чисел С 1 и С 2

а1а1 а2а2 НОД( а 1, а 2 )С1С1 С 2 Найдем НОК( С 1, С 2 )=10 НОК( а 1 а 2 ) + НОК( а 1, а 2 ) НОК (77,99)=10*63+63= НОК(88,55)=10*40+40= НОК(33,22)=10*6+6= НОК(44,77)=10*28+28= НОК(66,55)=10*30+30= НОК(88,33)=10*24+24= Условиям не удовлетворяет НОК(99,77)=10*63+63=693 УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК С ПРИМЕНЕНИЕМ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ 1)77 99= ) нок(77,99) 693 нок(77,99) 2) )66,55 умножение выполним с помощью нахождения НОК(66,55) нок(66,55) В курсе начальной школы можно использовать умножение таким способом: 1) выполнить умножение разрядных единиц 5 6=30 2) увеличить полученное число в 10 раз ( для двузначного числа) и прибавить к произведению результат первого действия =330 3) записать в виде

вывод вывод Применение разрядных единиц для нахождения НОК чисел при определенных условиях, позволяет разнообразить известные универсальные методы и использовать данный метод как дополнительную информацию на уроках. Кроме того, в курсе математики начальной школы показать применение разрядных единиц при изучении действий с многозначными числами.

Заключение Заключение В моей дальнейшей работе я хочу найти объяснения тем закономерностям,которые «всплывали» неожиданно для меня и разрешить поставленные для себя вопросы продолжением исследования в области теории чисел, зная, что … « мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы» (Платон) В моей дальнейшей работе я хочу найти объяснения тем закономерностям,которые «всплывали» неожиданно для меня и разрешить поставленные для себя вопросы продолжением исследования в области теории чисел, зная, что … « мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы» (Платон)