Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала Основные теоремы о дифференциалах Применение дифференциала в приближенных вычислениях Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Правило Лопиталя

Производные высших порядков Итак: Производной n – ого порядка (или n – ой производной) называется производная от производной n -1 - ого порядка. Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка. Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается: Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается: Итак:

Производные высших порядков - производная пятого порядка. Начиная от производной 4 порядка, производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках: Вычислить производную n – ого порядка от функции:

Производные от функций, заданных параметрически Производная первого порядка от этой функции находится по формуле: Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями: Найдем производную второго порядка: Аналогично получаем: и т. д.

Производные от функций, заданных параметрически Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:

Дифференциал функции Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную от нуля производную, следовательно существует предел: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: и, являющимися бесконечно малыми при. При этом первое слагаемое есть бесконечно – малая одного порядка с, так как:

Дифференциал функции Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с, так как: Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции. Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее приращения: Найдем дифференциал независимой переменной, то есть функции : Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной Поэтому: Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x, y) касательную y 0 х х f(x ) x+Δxx+Δx М М1М1 f(x+ Δx ) Рассмотрим ординату касательной для точки x+Δx. α Согласно геометрическому смыслу производной, B A Из прямоугольного треугольника AВМ имеем: Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δx.

Основные теоремы о дифференциалах Теорема 1 Дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций находится по формулам: Теорема 2 Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента. dydu Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Как известно, приращение функции можно представить в виде: dy Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем, получим приближенной равенство: Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции. Подставим в равенство выражения для приращения и дифференциала функции: Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x 0 +Δx, зная значение функции в точке x

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Вычислить приближенно: Рассмотрим функцию: Так както

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ролля Геометрическая интерпретация: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах интервала принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка, в которой производная обращается в ноль. y 0 х а f(а )= f(b ) сb Если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси OX. (теорема о корнях производной)

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Коши Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (a; b), причем для,то найдется холя бы одна точка, такая, что выполняется равенство: (теорема об отношении приращений) Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b),то найдется хотя бы одна точка, в которой выполняется равенство: y 0 х а сb А В На графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде AB

Правило Лопиталя Теорема Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и, который основан на применении производной. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0 и обращаются в ноль в этой точке:. Если существует предел то Теорема справедлива также в случае, если

Правило Лопиталя

Обозначим: Прологарифмируем равенство: