Проценты Методическая разработка учителя математики и физики МКОУ « СОШ2 » п. Сывдарма Ямало - Ненецкого автономного округа Бокова Наталья Леонидовна

Введение Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина такой ситуации, на мой взгляд, в том, что тема «Проценты» изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на части и проценты не возвращаются в старших классах. Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина такой ситуации, на мой взгляд, в том, что тема «Проценты» изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на части и проценты не возвращаются в старших классах. В своей работе я хотела показать методику объяснения решения задач на проценты самым слабым ученикам. В своей работе я хотела показать методику объяснения решения задач на проценты самым слабым ученикам.

Проценты Типы задач 1 тип: нахождение части от числа; 2 тип: нахождение числа по его части 3 тип: определение, какую часть числа а составляет число в.

Нахождение части числа Пусть дан отрезок АВ, длина которого условно примем за единицу: АВ=1. Разделим АВ на семь равных частей. Пусть РТ- одна из этих частей. Тогда очевидно, что РТ=1/7, а так как АВ=7РТ=1, то 7*1/7=1. Зачем писать эти тривиальные равенства? Ответ прост: необходимо добиться того, чтобы учащиеся понимали и связывали арифметические операции с действиями над отрезками. В этом случае усвоение рассматриваемой темы не будет формальным, основанным на применении «правил» и «формул». Пусть дан отрезок АВ, длина которого условно примем за единицу: АВ=1. Разделим АВ на семь равных частей. Пусть РТ- одна из этих частей. Тогда очевидно, что РТ=1/7, а так как АВ=7РТ=1, то 7*1/7=1. Зачем писать эти тривиальные равенства? Ответ прост: необходимо добиться того, чтобы учащиеся понимали и связывали арифметические операции с действиями над отрезками. В этом случае усвоение рассматриваемой темы не будет формальным, основанным на применении «правил» и «формул». Итак, необходимо подчеркнуть, что запись 7*1/7 означает, что отрезок длины 1/7, отложен семь раз, дает целый отрезок длины 1. Итак, необходимо подчеркнуть, что запись 7*1/7 означает, что отрезок длины 1/7, отложен семь раз, дает целый отрезок длины 1. Рассмотрим отрезок КС=3/7. Ясно, что 3/7=3*1/7=1/7+1/7+1/7. Здесь опять такая же ситуация: 3/7 есть отрезок, полученный откладыванием отрезка длины 1/7 три раза. Рассмотрим отрезок КС=3/7. Ясно, что 3/7=3*1/7=1/7+1/7+1/7. Здесь опять такая же ситуация: 3/7 есть отрезок, полученный откладыванием отрезка длины 1/7 три раза. Обобщим полученные результаты. Пусть длина отрезка АВ выражена числом р. Разделим АВ на q равных частей. Тогда каждый из полученных q отрезков будет иметь длину р/ q. Обобщим полученные результаты. Пусть длина отрезка АВ выражена числом р. Разделим АВ на q равных частей. Тогда каждый из полученных q отрезков будет иметь длину р/ q. Если теперь взять п таких отрезков длины п р/ q. Имеем равенство Если теперь взять п таких отрезков длины п р/ q. Имеем равенство р/ q + р/ q +…+ р/ q = п р/ q р/ q + р/ q +…+ р/ q = п р/ q

Иное рассмотрение Посмотрим теперь на все сказанное с иной точки зрения. Равенство 1/7*1=1/7 можно рассматривать как нахождение 1/7-й части 1. Аналогично произведение 1/q*р дает величину 1/q-й части числа р. Посмотрим теперь на все сказанное с иной точки зрения. Равенство 1/7*1=1/7 можно рассматривать как нахождение 1/7-й части 1. Аналогично произведение 1/q*р дает величину 1/q-й части числа р. Теперь полезно задать вопрос: что означает нахождение ¾ числа 16 в терминах деления отрезков ? Теперь полезно задать вопрос: что означает нахождение ¾ числа 16 в терминах деления отрезков ? Правильный вариант ответа такой: чтобы найти ¾ от 16, нужно отрезок длины 16 единиц разделить на четыре равные части и затем взять отрезок, равный трем таким частям: 16/4=4, 3*4=12. Поэтому ¾ от 16 равно 12. Тот же самый результат дает формальное умножение ¾ на 16. Слово «от» является ключевым для решения задачи. Увидя его, ребенок запомнит, что всегда надо число умножать на данную дробь. Правильный вариант ответа такой: чтобы найти ¾ от 16, нужно отрезок длины 16 единиц разделить на четыре равные части и затем взять отрезок, равный трем таким частям: 16/4=4, 3*4=12. Поэтому ¾ от 16 равно 12. Тот же самый результат дает формальное умножение ¾ на 16. Слово «от» является ключевым для решения задачи. Увидя его, ребенок запомнит, что всегда надо число умножать на данную дробь. Нужно отдавать себе отчет в том, что при хорошем усвоении темы «Нахождении части числа» задачи на проценты не вызывают никаких затруднений. Нужно отдавать себе отчет в том, что при хорошем усвоении темы «Нахождении части числа» задачи на проценты не вызывают никаких затруднений.

Процент Итак, вначале даем определение процента: Итак, вначале даем определение процента: 1 % от числа а есть 1/100 числа а; 1 % от числа а есть 1/100 числа а; р % от числа а есть р/100 числа а. р % от числа а есть р/100 числа а. Отсюда следует, что р % от числа а равно р * а/100. Отсюда следует, что р % от числа а равно р * а/100.

Нахождение числа по известной его части Рассмотрим теперь постановку обратной задачи: нахождение числа по известной его части. Рассмотрим теперь постановку обратной задачи: нахождение числа по известной его части. Здесь проще всего воспользоваться понятием уравнения: Здесь проще всего воспользоваться понятием уравнения: пусть ג – я часть неизвестного числа х равна заданному числу а. Тогда на основании определения части числа имеем: х * ג = а. Отсюда легко находим: пусть ג – я часть неизвестного числа х равна заданному числу а. Тогда на основании определения части числа имеем: х * ג = а. Отсюда легко находим: х = а/ ג. х = а/ ג.

Пример Найти число, если 12/17 его равны 60. Найти число, если 12/17 его равны 60. Я предлагаю ученикам запомнить ключевое слово «это». Я предлагаю ученикам запомнить ключевое слово «это». Например, 12/17 это 60. Например, 12/17 это 60. Если ребенок в задаче подставит это слово в условие, то сразу поймет к какому типу относится задача. Он будет знать, что число 60 надо разделить на дробь 12/17 (60 / 12/17 = 85). Если ребенок в задаче подставит это слово в условие, то сразу поймет к какому типу относится задача. Он будет знать, что число 60 надо разделить на дробь 12/17 (60 / 12/17 = 85). Ответ в этой задаче: 85. Ответ в этой задаче: 85.

3 тип задач на проценты К третьему типу задач относятся задачи на нахождение определения того, какую дробь одно число составляет от другого. К третьему типу задач относятся задачи на нахождение определения того, какую дробь одно число составляет от другого. Например, задача: «от поселка до города 5 км. Турист прошел 3 км. Какую часть пути прошел турист? Например, задача: «от поселка до города 5 км. Турист прошел 3 км. Какую часть пути прошел турист? Решение задачи: Решение задачи: 3/5 * 100 % = 60 % 3/5 * 100 % = 60 % Ответ: турист прошел 60 % пути. Ответ: турист прошел 60 % пути. 3 км 5км

Процентное содержание Часто при решении задач по химии в старших классах приходится сталкиваться с понятием процентное содержание, р %-й раствор. Часто при решении задач по химии в старших классах приходится сталкиваться с понятием процентное содержание, р %-й раствор. Задача: пусть в ведре 10 л соленой воды. Если процентное содержание соли в нем составляет, например, 15 %, то это значит, что в этом ведре 10*0,15=1,5 кг соли. 10 л воды весят 10 кг, а удельный вес воды равен 1000кг/м 3. Говорят также, что в ведре 15 % раствор соли Задача: пусть в ведре 10 л соленой воды. Если процентное содержание соли в нем составляет, например, 15 %, то это значит, что в этом ведре 10*0,15=1,5 кг соли. 10 л воды весят 10 кг, а удельный вес воды равен 1000кг/м 3. Говорят также, что в ведре 15 % раствор соли

Задачи на сплавы Часто встречаются задачи на сплавы. Часто встречаются задачи на сплавы. Есть сплав только двух металлов: олова и цинка. Пусть вес олова и цинка в сплаве составляет соответственно 10 и 15 кг. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Есть сплав только двух металлов: олова и цинка. Пусть вес олова и цинка в сплаве составляет соответственно 10 и 15 кг. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Под процентным содержанием олова (цинка) понимается часть, которую составляет вес олова (цинка) от веса всего сплава. Так как вес всего сплава равен 25 кг, то вес олова составляет 10/25=0,4 веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25=0,6 веса сплава. Следует обратить внимание на то, что 0,4 +0,6 = 1,0. Если найденные части выразить теперь в сотых долях частей, то получим значение этих частей, выраженное в процентах: 40 и 60 %. Под процентным содержанием олова (цинка) понимается часть, которую составляет вес олова (цинка) от веса всего сплава. Так как вес всего сплава равен 25 кг, то вес олова составляет 10/25=0,4 веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25=0,6 веса сплава. Следует обратить внимание на то, что 0,4 +0,6 = 1,0. Если найденные части выразить теперь в сотых долях частей, то получим значение этих частей, выраженное в процентах: 40 и 60 %. Здесь необходимо опять подчеркнуть, Здесь необходимо опять подчеркнуть, что 40 % + 60 % = 100 %. что 40 % + 60 % = 100 %. Сплав 100% 40 % олова 60 % цинка

Концентрация Термин «концентрация» часто встречается в химии, там,где рассматриваются различные соединения. Дадим простейшее определение концентрации одного вещества в соединении по массе (весу). Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р %, то это означает, что масса этого вещества составляет р % от массы всего соединения. Например, если концентрация серебра в сплаве 300г составляет 87 %, то в этом сплаве 0,87 *300 = 261 г чистого серебра.

Стандарты математического образования Выпускник основной школы должен знать: выражать отношение чисел в процентах, записывать процент в виде дроби; находить процент от заданного числа. Выпускник основной школы должен знать: выражать отношение чисел в процентах, записывать процент в виде дроби; находить процент от заданного числа. Примеры: Примеры: а) Выразите отношение данных чисел в процентах: 2 к 5; 3 к 4; 17 к 25; 19 к 20; 31 к 50. (2/5*100 % = 40 %). б) Запишите в виде десятичной дроби:8 %; 29 %; 53 %. (8 % = 0,08). в) Сколько процентов числа составляет его: половина, четвертая часть, пятая часть? (50 %, 25 %, 20 %) г) В весеннем кроссе приняли участие от 9 а класса 9 человек и от 9 б – 8 человек. В 9 а учатся 30 человек, а в 9 б – 25 человек. Какой процент учеников класса принял участие в кроссе? Где он был больше? (9/30*100=30 (%), 8/25*100=32(%). Ответ:30 % и 32 %; больше в 9 б классе). д) Найти: а) 25 % от 48; б)5 % числа 120; в) 20 % числа 140; г) 16 % числа 75.(0,25 * 48 = 12). е) Товар стоил руб. Затем он подешевел на 8 %. Найдите новую стоимость этого товара. (35000*0,08=2800(р.), =32200(р.))

Задачи вступительных экзаменов ( Московский государственный Горный университет 1999 г.) 1. На сколько процентов уменьшится дробь, если её числитель уменьшить на 85 %, а знаменатель уменьшить на 25 %? 1. На сколько процентов уменьшится дробь, если её числитель уменьшить на 85 %, а знаменатель уменьшить на 25 %? Решение. Пусть первоначальная дробь имеет ид а/b. Тогда после уменьшения числителя и знаменателя она примет вид (а – 0,85а) / (b – 0/25b) = 0,15а/0,75b = 0,2а/b. Решение. Пусть первоначальная дробь имеет ид а/b. Тогда после уменьшения числителя и знаменателя она примет вид (а – 0,85а) / (b – 0/25b) = 0,15а/0,75b = 0,2а/b. Дробь уменьшилась на 0,8 а/b. Дробь уменьшилась на 0,8 а/b. Составим пропорцию: а/b – 100% 0,8 а/b - х % Ответ: на 80 % Составим пропорцию: а/b – 100% 0,8 а/b - х % Ответ: на 80 %

Об авторе Мой стаж работы в школе – 32 года. Мой стаж работы в школе – 32 года. Моя цель в обучении математике – воспитать уверенность у учащихся в своих математических силах, научить школьников рассуждать. Моя цель в обучении математике – воспитать уверенность у учащихся в своих математических силах, научить школьников рассуждать. Помочь преодолеть затруднения в решении задач на других предметах в школе. Помочь преодолеть затруднения в решении задач на других предметах в школе.

Заключение В своей небольшой презентации я предложила свой вариант рассмотрения темы «Проценты», показала, где в дальнейшем встречаются задачи на проценты, показала практическое применение этих задач на уроках химии, на вступительных экзаменах. В своей небольшой презентации я предложила свой вариант рассмотрения темы «Проценты», показала, где в дальнейшем встречаются задачи на проценты, показала практическое применение этих задач на уроках химии, на вступительных экзаменах.