ИССЛЕДОВАТЬ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ. ЗАДАЧИ : 1. Изучить историю возникновения комбинаторики как науки. 2. Определить основные правила и формулы комбинаторики. 3. Рассмотреть свойства расположения биномиальных коэффициентов разложения в треугольнике Паскаля.

В теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. « Поймать случай за хвост » – одно из самых занимательных занятий. Работая над данным исследованием, я прошел путь развития новой для меня науки комбинаторики и нашел применение её законов в формулах алгебры.

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской « Книги Перемен » (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий : земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.. Элементы комбинаторики так же были известны в Индии еще во II в. до н. э. Идийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют " сочетания ".

Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. Б. Паскаль в " Трактате об арифметическом треугольнике " и в " Трактате о числовых порядках " (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин " комбинаторика " стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы « Рассуждение о комбинаторном искусстве ». Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей. Д. Кардано Н. Тарталья

Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли " Искусство предположений " (1713), в которой впервые была строго доказана первая предельная теорема простейший случай закона больших чисел. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности ( геометрическая вероятность, статистическая вероятность ), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности. Я. Бернулли

\ Термин " комбинаторика " Термин " комбинаторика " был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений. В 1666 году Лейбниц опубликовал " Рассуждения о комбинаторном искусстве ". В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k - сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний : Вильгельм Лейбниц

Для успешного решения комбинаторных задач необходимо знать два правила комбинаторики. Правило 1. Правило суммы. Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1- го сорта, 120 – 2- го, а остальные – 3- го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1- го или 2- го сорта ? Решение. Деталь 1- го сорта может быть извлечена 150 способами, 2- го сорта может быть извлечена 120 способами. По правилу суммы существует += =270 способов извлечения. Одной детали 1- го или 2- го сорта.

Правило 2. Правило произведения. Пример. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и физорга. Сколько существует способов это сделать ? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместитель – любой из оставшихся 29, а физоргом – любой из оставшихся 28 учащихся, т. е. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и физорга равно способов. n 1 n 2 …n k = =24360 способов.

Формула размещения. Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения ( либо и тем и другим ), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Пример. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования ( или и тем и другим ), т. е. является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписаний, т. е. число размещений из 11 по 5, находим по формуле …

Формула сочетания. Формула сочетания. Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из элементов по равно. Пример. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия ? Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т. е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле :

Формула перестановки. Если комбинации из n элементов по m отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов по m. Число перестановок из n элементов по m равно Пример. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно ? Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 7 элементов. Их число по формуле :

(a+b) n – это произведение n сомножителей, каждый из которых равен a+b. Ясно, что при раскрытии скобок в этом произведении слагаемых a n и b n появляются ровно по одному разу, следовательно, в итоговое выражение оба они входят с коэффициентом 1. Это значит, что C 0 n = C n n =1 при любом n.

Коэффициенты разложения можно представить в виде треугольника Паскаля, хотя известно она была задолго до 1665 г., когда в печати появилось сочинение Блеза Паскаля « Об арифметическом треугольнике » Блез Паскаль

Арифметический треугольник позволяет найти любой биномиальный коэффициент, но при больших значениях n считать придется очень много. Нельзя ли как – то ускорить вычисления? Оказывается можно: C n k = = Эту формулу и вывел Исаак Ньютон

С помощью этой формулы можно вычислить любой биномиальный коэффициент. Для примера можно посмотреть разложение 10 степени двучлена a+b. (a+b) 10 =a a 9 b+45a 8 b a 7 b a 6 b a 5 b a 4 b a 3 b 7 +45a 2 b 8 +10ab 9 +b 10.

Свойства треугольника Паскаля. 1. Каждое число А равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого и до числа, стоящего непосредственно над А.( =15) 1. Каждое число А равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого и до числа, стоящего непосредственно над А.( =15) (Треугольник Паскаля.) А

2. Каждое число А равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего и до числа, стоящего непосредственно левее А. ( =10) А

3. Если число А уменьшить на 1, то получится сумма всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальным и горизонтальным рядами, на пересечении которых стоит число А ( сами эти ряды в прямоугольник не включаются ). ( =10-1=9) 3. Если число А уменьшить на 1, то получится сумма всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальным и горизонтальным рядами, на пересечении которых стоит число А ( сами эти ряды в прямоугольник не включаются ). ( =10-1=9) А (Сумма чисел в отмеченных клеточках равна А-1)

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что подавляющее большинство природных и рукотворных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями : номера выигравших билетов в лотереях, результаты спортивных состязаний, состояние погоды, количество солнечных дней в течение года и так далее.