Многочлены. Решение олимпиадных задач по теме «Многочлены» Выполнила ученица 10 класса Б МБОУ лицея 1 Пщегорская Наталья

1)Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени. 2)Разложения многочлена на множители. 3)Схема Горнера 4)Умножения многочленов 5)Деление многочленов 6)Алгоритм Евклида 7)Основная теорема Алгебры. 8)Корни многочлена. Теорема Безу 9)Следствие из Теоремы Безу 10)Теорема о корнях многочлена.

Многочлен ах + b, где а 0, a, b числа, x переменная, называется многочленом первой степени. Многочлен ах 2 +bх+с, где а 0, a, b, c числа, x переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией). Многочлен ах 3 +bх 2 +сх+d, где а 0, a, b, c, d числа, x переменная, называется многочленом третьей степени. Многочлен: P n (x) =a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – a 1 x + a 0, где a n 0, а k =0,1,2,..,n-числа, х- переменная, называется многочленом n-ной степени. а n -старший коэффициент, а 0 -свободный член.

Действительное число a называется корнем многочлена P n (x), если P n (a) = 0. Число α-k-кратный корень многочлена f(x), если f(x)=(x-α) k φ(x), φ(α)0. Необходимые теоретические выдержки для разложения многочлена на множители. Теорема. Любой многочлен степени n вида P n (x) =a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – a 1 x + a 0, представляется произведением постоянного множителя при старшей степени а n и n линейных множителей (х-х i ), i=1, 2, …, n, то есть P n (x)= а n (х-х n )(х-х n-1 )…(х-х 1 ), причём х i, i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Схема Горнера. Если f(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n, g(x)=x-c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид g(x)=b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1, где b 0 =0, b k =cb k-1 +a k, k=1,2…,n-1. Остаток r находится по формуле r=cb n-1 +a n

Умножение многочленов. P n (x)Q m (x) Пусть P n (x) и Q m (x) два многочлена степени n и m cответственно. P n (x)=a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0, Q m (x)=b m x m +b m-1 x m-1 +…+b 0, Предположим, что n m. P n (x)Q m (x)=(a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 )(b m x m +b m-1 x m-1 +…+b 0 )= a n x n (b m x m +b m-1 x m-1 +…+b 0 )+a n-1 x n-1 (b m x m + +b m-1 x m- 1 +…+b 0 )+…+ a 0 (b m x m +b m-1 x m-1 +…+b 0 ).

Деление многочленов. Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x)+r(x).

Историческая справка. Алгоритм Евклида. Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике Аристотеля. В «Началах Евклида» он описан дважды в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков. Историками математики было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Евклид Аристотель

Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x) Тогда r k (x)- наибольший общий делитель f(x) и g(x).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный). Теорема Безу. Корни многочлена. При делении P(x) на (x-α) в остатке может получится лишь некоторое число r (если r=0, то деление выполняется без остатка). Так как степень двучлена (x-α) равна 1, то степень остатка должна быть меньше 1. P(x)= (x-α) Q(x)+r (1) Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х= α. При этом двучлен x-α обращается в нуль, получаем, что P(α)=r.

Следствие из теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x-α без остатка. По теореме Безу остаток от деления P(x) на x-α равен P(α), а по условию P(α)=0. Отсюда видно, что задача решения уравнения P(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена Р, имеющих первую степень (линейных делителей).

Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни α 1, α 2, …, α n, то он делится без остатка на произведение (х- α 1 )…(х- α n ) Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии из Теоремы Безу. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, и пусть P(х) имеет k+1 попарно различных корней: α1, α2,…, αk, αk+1. По предположению индукции многочлен делится на произведении (х- α1)…(х- αk): P(x)=(x- α1)…( х- αk)Q(x). При этом αk+1 - корень многочлена P(x), т.е. P(αk+1) =0. Значит, подставляя αk+1 вместо х, получаем верное равенство. P(αk+1)= (αk+1 –α1)…( αk+1 –αk)Q(αk+1)=0. Но αk+1 по условию отлично от чисел α1,…, αk, и => ни одно из чисел αk+1 –α1,…, αk+1 –αk 0. Значит Q(αk+1)=0, т.е. αk+1 – корень многочлена Q(х). По следствию из Теоремы Безу Q(х) делится на х-αk+1 без остатка, Q(х)= (х- αk+1) Q1(х), и поэтому P(x)= (х- α1)…(х- αk) Q(х)= (х- α1)…(х- αk)(х-αk+1) Q1(х). Это и значит, что P(x)делится на (х- α1)…(х- αk+1). Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из ее справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. теорема верна при любом случае корней.

1)Задача 1 (на нахождение корней) 2)Задача 2 3)Задача 3 (нахождение корней 3хчлена) 4)Задача 4 5)Задача 5 (нахождение параметра) 6)Задача 6 7)Задача 7 8)Задача 8(нахождение неизвестных по условию на корни и одно из неизвестных)

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a 2 +2cd+b 2 и c 2 +2ab+d 2 являются полными квадратами. Предположим, что ab=cd. Тогда a 2 +2cd+b 2 =a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2, c 2 +2ab+d 2 =c 2 +2cd+d 2 =(c+d) 2. Таким образом, достаточно найти четыре различных натуральных числа a, b, c и d, для которых ab=cd. Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух множителей различными способами. Например, таким числом является n=6; в этом случае можно взять a=1, b=6, c=2, d=3. Ответ: 1,2,3,6

Найти все целые неотрицательные значения n и k, удовлетворяющие уравнению 5n 4 +k 5 =81k 5n 4 +k 5 =81k, nZ, kZ, k0, n0.* 5n 4 =81k-k 5 5n 4 = k(3-k)(3+k)(9+k 2 ) Т.к 5n 4 0, то k(3-k)(3+k)(9+k 2 )0 0k3 Если k=0, 5n 4 =0, n=0. Если k=1, 5n 4 =80, n 4 =16, n=2; n=-2(не удовл. условию*) Если k=2, 5n 4 =162-32, 5n 4 =130, n 4 =26 ø Если k=3, 5n 4 =0, n=0. Ответ:k=0,n=0;k=1,n=2;k=3,n= k3

Квадратный трёхчлен f(x)=x 2 +px=q имеет 2 различных целых корня. Один из корней трёхчлена и его значение при х=11 являются простыми числами. Найти корни трёхчлена. Пусть х 1 и х 2 - корни многочлена, f(x)=(x-x 1 )(x-x 2 ) а) пусть х 1 =2-простой корень f(11)=(11-x 1 )(11-x 2 )-простой по условию(противоречие) f(11)= g(11-х 2 ) - составное б) пусть х1-нечётное f(11)=(11-x 1 )(11-x 2 )-простое, (11-x 1 )(11-x 2 )=2 11-х 1 =1 11-х 1 =-1 11-х 1 =2 11-х 1 =-2 11-х 2 =2 11-х 2 =-2 11-х 2 =1 11-х 2 =-1 х 1 =10 х 1 =12 х 1 =9 х 1 =13 х 2 =9 х 2 =13 х 2 =10 х 2 =12 Ответ: х 1 =13,х 2 =12. {{{{

Найдите целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x 4 -2y 2 =1. Знаки x и y можно выбирать произвольно, поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что x - нечётное число, x=2t+1. Перепишем уравнение в виде x 4 -1=(x- 1)(x+1)(x 2 +1)=2t(2t+2)(4t 2 +4t+2)=2y 2. Теперь видно, что y - чётное число, y=2u. Получаем уравнение на неотрицательные t, u: 2) t(t+1)(2t(t+1)+1)=u 2. Числа t, t+1 и 2t(t+1)+1 попарно взаимно просты, а их произведение - полный квадрат. Значит, каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t=0 (единственная пара последовательных полных квадратов - это 0 и 1). Тогда и u=0. Значит, x=+1, y=0. Ответ:x=1, y=0 или x=-1, y=0.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения 3ax 2 (3a 3 -12a 2- 1)x- a(a- 4)= 0 удовлетворяют неравенству x |x|1. 1) Пусть 3a = 0, т.е. a = 0, тогда получаем линейное уравнение –x= 0, которое имеет единственный корень x = 0, причем 0[-1;1]. Значение a = 0 удовлетворяет условию задачи. 2)При a0 получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D=(3a 3 -12a 2 -1) a 2 (a- 4)=(3t-1) 2 -12t=(3t-1) 2, где t= a 3 - 4a 2. а)Тогда найдём корни x = = -(3t-1)-(3t+1) 6a –t = a =4a-a 2, = x= -(3t-1)-(3t+1) 6a = –t a 1 3a б)Теперь поставим условия для корней -14a-a a 1 { Решим систему Ответ{0} [2+3;2+5]

Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению (x+y 2) 6 +(u-v 2) 6 =7+5 2 ? (x+y2) 6 =x 6 +6x 5 (y2)+15x 4 (y2) 2 +20x 3 (y2) 3 +15x 2 (y2) 4 +6x(y2) 5 +(y2) 6 =A+B2. (u-v2) 6 =u 6 - 6u 5 (v2)+15u 4 (v2) 2 -20u 3 (v2) 3 +15u 2 (v2) 4 - 6u(v2) 5 +(v2) 6 =A-B2, то выполняется (x-y2) 6 +(u- v2) 6 = 7-52 Но 7-52 ˂ 0, а левая часть положительна. Противоречие. Следовательно, исходного равенства быть не может. Ответ: таких чисел нет.

При каких целых n число n 2 - 7n + 10 простое? Разложим многочлен x 2 - 7x + 10 на множители: x 2 - 7x + 10 =(x - 5)(x - 2). Отсюда при любом целом n число n 2 - 7n + 10 делится на n - 5 и на n - 2. Оно может быть простым только в том случае, если одно из чисел n - 5 и n - 2 равно 1 или -1, а другое – простое: если n - 5 = 1,то n = 6, n - 2 = 4, n 2 - 7n + 10 = 4 – составное; если n - 5 = -1, то n = 4, n - 2 = 2, n 2 - 7n + 10 = -2 – простое; если n - 2 = 1, то n = 3, n - 5 = -2, n 2 - 7n + 10 = -2 – простое; если n - 2 = -1, то n = 1, n - 5 = -4, n 2 - 7n + 10 = 4 – составное. Ответ: при n = 3 и n = 4.

Даны три уравнения с действительными коэффициентами. 1) x 2 -(a+b)x+8=0; 2) x 2 -x(b+1)+c=0; 3) x 4 -b(b+1)x 2 +c=0.Каждое из них имеет по крайней мере один действительный корень. Корни 1го уравнения больше единицы. Также, корни 1го уравнения являются корнями 3го и хотя бы один корень 1го уравнения удовлетворяет 2ому уравнению. Найти числа a,b,c, если известно, что b>3. Обозначим корни первого уравнения x 1 и x 2. Причем пусть за x 1 обозначен тот, который является корнем уравнения 2. Заметим, что если x 1 является корнем уравнения 3, то и -x 1 является корнем уравнения 3. -x 1 не может равняться x 2, поскольку и x 1, и x 2 положительны. Значит, у уравнения 3 мы нашли уже 4 корня: x 1, -x 1, x 2 и -x 2. У многочлена 4 степени больше корней и не может быть. Заметим, что x 1 - корень уравнения 2. А значит, он является квадратом двух из корней уравнения 3. Поэтому x 1 =x 1 2 либо x 1 =x 2 2. Из первого уравнения следует, что x 1 =0 или 1. Но этого быть не может, т.к. x 1 больше 1. Значит, x 1 =x 2 2. Из теоремы Виета для первого уравнения следует, что x 1 x 2 =8. Поэтому x 2 3 =8. Откуда получаем, что x 1 =4; x 2 =2. Отсюда понятно, что a+b=6. Корни уравнения 3 - это ±2 и ±4. Поэтому корни уравнения 2 это 4 и 16. Поэтому с=64; а b(b+1)=20. Получаем b=4 или b=-5 (не подходит, так как b>3). Ответ: a=2;b=4;c=64.