Логика предикатов

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения). Понятие предиката

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}. Пример: Q(x) == «x 2

Двухместным предикатом Р(х,у ) называется функция двух переменных x и y определенных на множестве М=M 1 x M 2 принимающая значения из множества { 1 ;0}. 1 Q(x, у) - "х=у" - предикат равенства, определенный на множестве RxR=R 2 ; 2 F(x,y) - "х параллелен у", "прямая х параллельна прямой у", определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости. 3 S(x,y,z) - "x+y=z". Подстановка в него х=3 превращает его в двухместный предикат: S(y,z) - "3+y=z", а подстановка х=3, z=2 - одноместный предикат S(y) - "з+у=2".Подстановка же S(2,3,5) превращает его в истинное высказывание, a S(1,7,4)- в ложное. Аналогично определяется и n-местный предикат (функция n переменных). Пример n- местного предиката: R(x x, x 2,...,x n ): а 1 х а п х п =о, который, как видим, представляет собой алгебраическое уравнение с n неизвестными.

КОНЪЮНКЦИЕЙ ДВУХ ПРЕДИКАТОВ P(X) И Q(X) НАЗЫВАЕТСЯ НОВЫЙ (СЛОЖНЫЙ) ПРЕДИКАТ P(X) Q(X), КОТОРЫЙ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ ИСТИНА ПРИ ТЕХ И ТОЛЬКО ТЕХ ЗНАЧЕНИЯХ X M, ПРИ КОТОРЫХ КАЖДЫЙ ИЗ ПРЕДИКАТОВ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ ИСТИНА, И ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ ЛОЖЬ ВО ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ Логические операции над предикатами Областью истинности предиката P(x) Q(x) является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение –I p I q.

Так, например, для предикатов P(x): x – четное число и Q(x): x кратно 3 конъюнкцией P(x) Q(x) является предикат x – четное число и x кратно трем, т.е. предикат x делится на 6.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат Р(х) Q(x), который принимает значение ложь при тех и только тех значениях x M, при которых каждый из предикатов принимает значение ложь, и принимает значение истина во всех остальных случаях Областью истинности предиката Р(х) Q(x), является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е I p I q.

Пусть даны предикаты P(x) : «x – четное число» и Q(x) : «x кратно 3», определенные на множестве N. Множество истинности предиката Р(х) Q(x): I P Q = I p I q = {6,12,…,6n,…}

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат, который принимает значение истина при всех значениях x M, при которых предикат P(x) принимает значение ложь, и принимает значение ложь при тех значениях x M, при которых предикат P(x) принимает значение истина. Очевидно, что, т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I P.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат, который является ложным при тех и только тех значениях x M, при которых одновременно P(x) принимает значение истина, а Q(x) – значение ложь, и принимает значение истина во всех остальных случаях. Поскольку при каждом фиксированном x M справедлива равносильность, то.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат, который обращается в истину при всех тех и только тех x M, при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания. Для его множества истинности имеем:

Пусть даны предикаты А(x,y) и B(x,y), определенные на множестве M=M1 *M2 R*R. Найти множество истинности предиката A(x,y)B(x,y) и изобразить ее с помощью кругов Эйлера-Венна. Так как A(x,y)B(x,y) = (A(x,y)B(x,y))& (B(x,y)A(x,y)), то IAB=( I AB )(I BA )=((CI A I B ) (CI B I A ))=(I A I B )(CI A CI B ). I AB изображена темно серым цветом

Записать предикат, полученный в результате логических операций над предикатами P(x), Q(x) и R(x), область истинности которогоI заштрихована на рисунке Решение: Так как здесь I=I P I Q I R, то искомый предикат имеет вид P(x)&Q(x)&R(x)

Изображение с помощью круга Эйлера-Венна

Кванторы Всеобщности Существования Численные ~

1.Квантор всеобщности. Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: Для всякого х Р(х) истинно. Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

2.Квантор существования Пусть Р(х) -предикат определенный на множестве М. Под выражением хР(х) понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х М, для которого Р(х) истинно, и ложным - в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: "Существует х, при котором Р(х) истинно." Символ называют квантором существования.

3.Численные кванторы В математике часто встречаются выражения вида "по меньшей мере n" ("хотя бы n"), "не более чем n", "n и только n" ("ровно n"), где n - натуральное число. Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака = или означающего тождество (совпадение) объектов.

Даны предикаты P(x): и Q(x):, определенные на множестве R. Требуется установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны: 1) 2) 3) 4) Решение. Так как при всех х, то будут истинны высказывания. Так как уравнение имеет только два действительных корня и,то предикат Q(x) принимает значение 1 только при х=3 и х=1 и 0 в остальных случаях. Но тогда высказывание ложно, а высказывание истинно

Запись математических предложении и определений в виде формул логики предикатов 1.Определение непрерывности функции в точке. Функция, определенная на множестве Е, непрерывна в точке х 0 Е, если, где 2. Построение противоположный утверждений

Прямая, обратная и противоположная теоремы Рассмотрим четыре теоремы: Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником (1) обратной является теорема Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны (4)

9.4 Необходимые и достаточные условия. Рассмотрим теорему Как отмечалось, множество истинности предиката есть множество. Но тогда множеством ложности этого предиката будет. Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда Итак, предикат является истинным для всех том и в только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным условием для Q(x).

Логика и множества (10ч) Тема Кол-во часов 1Теоретико-множественные понятия 5 §1 Множество, элемент множества 1 §2 Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством 1 §3Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество 1 §4 Объединение и перечисление множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна 2 2Элементы логики 5 §5 Определение. Аксиомы и теоремы 1 §6 Доказательство от противного 1 §7 Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. 1 §8 Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если …, то …, в том и только в том случае, логические связки и, или 1 Контрольная работа 1.

Содержание учебного материала Требования к уровню подготовки обучающихся Множества. Элементы логики Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если..., то..., в том и только том случае. Логические связки и, или. Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить объединение и пересечение конкретных множеств, разность множеств. Приводить примеры несложных классификаций. Использовать теоретико-множественную символику и язык при решении задач в ходе изучения различных разделов курса. Воспроизводить формулировки определений; конструировать несложные определения самостоятельно. Воспроизводить формулировки и доказательства изученных теорем, проводить несложные доказательства самостоятельно, ссылаться в ходе обоснований на определения, теоремы, аксиомы. Иллюстрировать математические понятия и утверждения примерами. Использовать примеры и контрпримеры в аргументации. Конструировать математические предложения с помощью связок если..., то..., в том и только том случае, логических связок и, или Содержание рабочей программы