Учитель математики МОУ СОШ 8 х. Шунтук Майкопскского района Республики Адыгея Грюнер Наталья Андреевна

ПРИЗМОЙ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГРАННИК, КОТОРЫЙ СОСТОЙТ ИЗ ДВУХ ПЛОСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ, ЛЕЖАЩИХ В РАЗНЫХ ПЛОСКОСТЯХ И СОВМЕЩАЕМЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ. И ВСЕХ ОТРЕЗКОВ, СОЕДИНЯЮЩИХ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ТОЧКИ ЭТИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

МНОГОУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ ОСНОВАНИЯМИ ПРИЗМЫ, А ОТРЕЗКИ, СОЕДИНЯЮЩИЕ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ВЕРШИНЫ, - БОКОВЫМИ РЕБРАМИ ПРИЗМЫ.

СВОЙСТВА ПРИЗМЫ Основания призмы равны. У призмы основания лежат в разных плоскостях. У призмы боковые ребра параллельны и равны. Боковые грани призмы – параллелограммы.

Высотой призмы Называется расстояние между основаниями призмы А1А1А1А1 А Диагональю призмы Называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. В1В1 В

Сечения призмы Диагональные сечения- это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Диагональное сечение призмы- есть параллелограмм.

Построение сечений призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы и заданную точку. Прямая g называется следом секущей плоскости.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА – ЭТО ТАКАЯ ПРИЗМА, У КОТОРОЙ БОКОВЫЕ РЕБРА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ОСНОВАНИЯМ. В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ ПРИЗМА НАКЛОННАЯ.

БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИЗМЫ НАЗЫВАЕТСЯ СУММА ПЛОЩАДЕЙ БОКОВЫХ ГРАНЕЙ ПОЛНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ РАВНА СУММЕ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОЩАДИ ОСНОВАНИЙ.

БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПЕРИМЕТРА ОСНОВАНИЯ НА ВЫСОТУ ПРИЗМЫ, т.е. НА ДЛИНУ БОКОВОГО РЕБРА. Доказательство. S б =S б граней (по определению) Пусть А 1 В 1 = а 1 АА 1 = l S1= a1 lS1= a1 l S 2 = a 2 l Sn= an lSn= an l S б = S 1 +S 2 …+S n = a 1 l + a 2 l …+a n l S б = l (a 1 +a 2 …+a n )= l P o Теорема доказана. Дано: ABCD…А 1 В 1 C 1 D 1 … прямая призма Sб=PO lSб=PO l ТЕОРЕМА

Решение : Sп = Sб +2Sо Sб = Ро · h Sб = Σ Sб. Граней А 1 А 3 А 2 А 4 = О А 1 А 3 А 2 А 4 (по свойству диагоналей ромба) А 1 О = А 3 О }(по свойству диагоналей ромба) => А 2 О = А4О Рассмотрим А 3 ОА 4 : А 3 ОА 4 =90 0 ОА 4 = А 2 А 4 / 2=10/2 =5 ОА 3 = А 1 А 3 / 2 = 24/2 =12 => А 3 А 4 2 = А 4 О 2 + А 3 О 2 (по т.Пифагора) А 3 А 4 = А 4 О 2 + А 3 О 2 А 3 А 4 = А 3 А 4 = 169=13 В А 3 A 3 A 4 : А 3 А 3 (A 1 A 2 A 3 ) (по определению прямой призмы) А 3 А 3 A 3 A 4 (по опр. прямой плоскости ) => А 3 A 3 A 4 =90 0 A 4 А 3 A 3 = 45 0 ( =45 0 по т.о Σ в.) => А 3A 3 A 4 – равнобедренный А 3 А 4 = А 3A 3,т.о. A 3 А 3 =13 Р о =4 ·13 =52 S б =52·13 =676 S о =24·10 2=120 S полн. = ·120 =916 ОТВЕТ: S полн. =916 Дано: A1A2A3A4A1A2A3A4-A1A2A3A4A1A2A3A4- прямая призма A 1 A 2 A 3 A 4 -ромб A 1 A 3 =24 A 2 A 4 =10 A3A4A3 = 45 0 S полную o ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2 Решение : Sб = ΣSб. гр. А 1 А 2 А 3 – равносторонний => А 1 А 1 А 3 А 3 = А 3 А 3 А 2 А 2 = А 2 А 2 А 1 А 1 => Sб = 3 S А 1 А 1 А 3 А 3 Рассмотрим А 1 А 1 О : А 1 О / А 1 А 1 = cos 30 0 А 1 О =А 1 А 1 cos 30 0 =12 3 /2 =63 А 1 О = R (описанная окружность) А 1 О = a / 3 a = А 1 О. 3 =63 · 3 =18 А 1 А 3 =a =18 Проведем А 1 В – наклонную к (А 1 А 2 А 3 ) А 1 В А 1 А 3 т.т.т. А 1 О (А 1 А 2 А 3 ) ВО - проекция А 1 В В А 1 А 1 О : О = 90 0 А 1 А 1 В = 30 0 А 1 О = А 1 А 1 / 2 = 12 / 2 = 6(по т. о катете, лежащем против 30 0 ) В А 1 ВО : ОВ = r =a / 23 =18 /23 =9 /3 =3 3 А 1 В =ОВ 2 + А 1 О 2 = 63 = 3·21 =3 ·3·7 =37 S А 1 А 1 А 3 А 3 = А 1 В · А 1 А 3 = 37 · 18 = 54 7 Sб = 3 · 54 7 =162 7 Ответ: Sб = Дано : А 1 А 2 А 3 А 1 А 2 А 3 – наклонная призма А 1 А 2 А 3 - правильный А 1 А 1 – высота призмы А 1 А 1 =12 А 1 А 1 В = 30 0 А 1 В = А 3 В SбSб

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД- ЭТО ПРИЗМА, ОСНОВАНИЕМ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

У ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПРОТИВОЛЕЖАЩИЕ ГРАНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ И РАВНЫ. Доказательство : В (AA 1 D 1 D): AA 1 II DD 1 (по определению параллелограмма) В (ABCD): AB II DC (по определению параллелограмма) AA 1 A 1 B 1 DD 1 D 1 C 1 (AA 1 B 1 B) II (DD 1 C 1 C) (по признаку параллельности плоскостей) A 1 D 1 = AD (по опр. пар-ма AA 1 D 1 D) B 1 C 1 = BC (по опр. пар-ма BB1C1C) AD=BC (по опр. пар-ма ABCD) A 1 D 1 =B 1 C 1 (по опр. пар-ма A1B1C1D1) AD=BC=A 1 D 1 =B 1 C 1, а также AD II BC IIA 1 D 1 II B 1 C 1 Таким образом AA 1 B 1 B совпадает с DD 1 C 1 C при помощи параллельного переноса => AA 1 B 1 B=DD 1 C 1 C Теорема доказана. Дано : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C AA 1 B 1 B II DD 1 C 1 C ТЕОРЕМА

Центральная симметрия параллелепипеда Дано : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед A 1 C и B 1 D – диагонали Диагонали пересекаются и (.) пересечения делятся пополам ТЕОРЕМА: ДИАГОНАЛИ ПАРАЛЛЕПИПЕДАП ПП ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ И ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ ПОПОЛАМ. Доказательство : Рассмотрим (AA 1 B 1 B) и (DD 1 C 1 C) A 1 B 1 II DC (по признаку параллельности прямых) => Существует (A 1 B 1 CD)- плоскость II прямых (по определению) (A 1 B 1 CD) (AA 1 D 1 D) =A 1 D (A 1 B 1 CD)(BB 1 C 1 C) =B 1 C A 1 D II B 1 C, но A 1 B 1 II DC => A 1 B 1 CD параллелограмм (по определению) => A 1 C B 1 D и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали BD 1 и AC 1,а также диагонали AC 1 CA 1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. => Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Следствие : Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД - это прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. Все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер называются его линейными размерами (измерениями)

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ КВАДРАТ ЛЮБОЙ ДИАГОНАЛИ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ ТРЕХ ЕГО ИЗМЕРЕНИЙ. Доказательство: Рассмотрим BB 1 D BB 1 (ABCD) (по опред. прямого параллелепипеда) => BB 1 BD (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) => B 1 BD = 90 0 => B 1 D 2 = B 1 B 2 + BD 2 (по т. Пифагора) B 1 D 2 = a 2 +BD 2 ABCD – прямоугольник (по опред. прямоугольного параллелепипеда) => в ABD : А = 90 0 BD 2 = AB 2 + AD 2 (по т. Пифагора) BD 2 = b 2 +c 2 B 1 D = a 2 + b 2 +c 2 Теорема доказана. Дано: ABCDA1B1C1D– прямоугольный параллелепипед AA 1 =a AB =b AD = c B 1 D 2 = a 2 +b 2 +c 2 ТЕОРЕМА:

ОБЪЕМ – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: Равные тела имеют равные объемы. Объем тела равен сумме объемов его частей. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице

Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c вычисляется по формуле V = abc Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту V = S o h Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту V = S o h

Решение : V = S o h h= BB 1 S o = AB AD sin A S o =22 5 ·2/2 =10 В B 1 BD : B = 90 0 ( по опред. прямого параллелепипеда) ВВ 1 = B 1 D 2 – BD 2 (по т. Пифагора) BD 2 = АВ 2 + АD 2 –AB AD cos AB^AD (по т. косинусов) BD 2 =(22) – 2 22 · 5 ·2 /2 = =8 +25 – 20 = 13 BB 1 = 49 – 13 = 36 = 6 V =10 6 = 60 Ответ :V = 60 Дано : ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед АВ =22 ВС = 5 А = 45 0 B1D = 7 V -? ЗАДАЧА3

Решение: V = S O *h А 1 О (АВС) (как высота)= А 1 О АС (по св-ву прямой ой к плоскости) В АА 1 О : О = 90 0 АА 1 =а АА 1 О= α А 1 О/ AА 1 =sin α А 1 О/а =sin α А 1 О=a sin α AO/AА 1 =sin α AO/a=cos α OA= a cos α ABCD – квадрат АС и ВD- диагонали АС = ВD (по св-ву диагоналей АС ВD ромба) So =4 SAOB SAOB = АО* ВО /2 = a 2 cos 2 α S o = 4 a 2 cos 2 α /2= 2 a 2 cos 2 α V = 2 a 2 cos 2 α * a sin α = 2a 3 cos 2 α sin α Ответ : V = 2a 3 cos 2 α sin α. Дано : ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 – параллелепипед А 1 О- высота АВСD –квадрат А 1 АО =α V- ? ЗАДАЧА4