Методы изображений Практическое занятие 1

План занятия 1. Требования к изображениям в педагогическом процессе 2. Параллельное проектирование и его свойства 3. Изображение плоских фигур

Требования к изображениям в педагогическом процессе Преподаватели математики на своих уроках широко используют наглядные изображения фигур, облегчающие понимание и усвоение рассуждений и выводов, позволяющее найти правильное решение задачи, воспитывающее пространственное воображение у учащихся. Педагогический процесс предъявляет к изображениям ряд требований.

Требования к изображениям в педагогическом процессе Изображение должно быть верным, то есть должен существовать оригинал - изображаемая фигура. Пример неверного изображения «сечение пирамиды плоскостью» Почему это изображение неверно? А В С D S O

Требования к изображениям в педагогическом процессе Треугольник Пенроуза

Требования к изображениям в педагогическом процессе Изображение должно быть наглядным, то есть производить то же впечатление, что и изображаемый объект.

Требования к изображениям в педагогическом процессе Изображение должно быть простым, то есть свободным от всех построений, посторонних теме преподавания и требующих больших затрат времени.

Изображение должно быть информативным, то есть давать информацию о свойствах оригинала. В связи с этим требованием выделяют полные и метрически полные изображения

Требования к изображениям в педагогическом процессе Изображение называется полным, если по нему можно судить о компланарности любых четырех точек и о параллельности любых двух прямых, изображения которых заданы. Можно ли данное изображение считать полным? М С B A D M1M1

Требования к изображениям в педагогическом процессе B A D C m M M1M1 N N1N1

Изображение называется метрически полным (метрически определенным), если оно позволяет определить длину любого отрезка оригинала по изображению этого отрезка. Полное изображение можно считать метрически полным, если по нему определяется отношение любых двух отрезков.

Параллельное проектирование и его свойства Пусть Е – трехмерное евклидово пространство, Σ – некоторая плоскость, а t – прямая, не параллельная этой плоскости. Отображение π пространства Е на плоскость Σ называется параллельным проектированием в направлении t, если каждой точке М´ пространства ставится в соответствие такая точка М 0 плоскости Σ, что прямая М´М 0 либо параллельна t, либо совпадает с t.

Параллельное проектирование и его свойства Точка М 0 =π(М´) называется параллельной проекцией точки М´. t М Σ М0М0

Параллельное проектирование и его свойства Проекцией фигуры F´ называется множество F 0 проекций всех её точек. t Σ

Параллельное проектирование и его свойства При условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой t, выполнены следующие свойства: 1)проекция прямой есть прямая; 2)проекция отрезка есть отрезок;

Параллельное проектирование и его свойства 3)проекции параллельных прямых (отрезков) – параллельные прямые или одна прямая (параллельные отрезки или отрезки одной прямой); 4)отношение отрезков параллельных прямых или одной прямой равно равно отношению проекций этих отрезков.

Изображение плоских фигур

Вопрос для обсуждения Какая фигура может служить образом точки, прямой, отрезка, луча, угла, плоскости при параллельном проектировании?

Изображение плоских фигур Теорема 1. Любой треугольник может служить изображением данного треугольника при подходящем проектировании.

Изображение плоских фигур Теорема 2. Если построен треугольник, изображающий данный треугольник, то изображение любой точки плоскости данного треугольника определяется однозначно. Σ´ А´А´В´В´ С´С´ Σ А В С D´D´ E´E´ E D

Вопросы для обсуждения Может ли служить изображением данного четырехугольника произвольный четырехугольник? Может ли служить изображением ромба - квадрат?

Вопросы для обсуждения Может ли служить изображением параллелограмма - трапеция? Может ли служить изображением параллелограмма - квадрат? Может ли служить изображением трапеции - квадрат?

Вопросы для обсуждения Какие свойства прямоугольника сохраняются при его изображении? При каких условиях данный четырехугольник может служить изображением равнобедренной трапеции?

Задача 1 Построить изображение квадрата, зная изображения двух его смежных вершин и центра.

Задача 2 Построить изображение треугольника, зная изображение одной его вершины и оснований медиан, проведенных из двух других вершин.

Задача 3 Построить изображение правильного шестиугольника, зная изображение трех его вершин А´, В´, С´.

Задача 4 Построить изображение правильного шестиугольника, зная изображение трех его вершин А´, В´, D´.

Задача 5 Построить изображение правильного шестиугольника, зная изображение трех его вершин А´, E´, С´.

Задача 6 Дано изображение прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как. Построить изображение высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Задача 7 Дано изображение квадрата, точки и прямой, лежащих в одной плоскости. Построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Анализ ?

Задача 8 Дано изображение правильного треугольника. Построить изображение прямоугольной трапеции с острым углом в 30 0, высотой, равной высоте треугольника, и меньшим основанием, равным стороне треугольника.

Краткая запись условия Дано: ΔАВС=π(ΔА´В´С´), ΔА´В´С´- равносторонний M´N´P´Q´-прямоугольная трапеция: M´N´ N´P´, N´P´Q´=30 0, M´Q´= А´В´. Построить: MNPQ= π( M´N´P´Q´)

Анализ M´N´||B´B 1 ´ M´N´=B´B 1 ´ MN||BB 1 MN=BB 1 M´Q´||A´С´ M´Q´=A´С´ MQ||AС MQ=AС Q´P´||C´C 1 ´ QP||CC 1 M´Q´||N´P´ MQ||NP P´P´ M´M´ N´N´ Q´Q´ B1´B1´ A´A´ C´C´ B´B´ C1´C1´

Построение 1. [ВВ 1 ]-медиана АВС 2. [MN]||[BB 1 ] [MN]=[BB 1 ] 3. [MQ]||[AС] [MQ]=[AС] 4. [СС 1 ]- медиана АВС 5. (QP)||(CC 1 ) 6. (NP)||(MQ) 7. {P}= (NP) (QP) 8. MNPQ А В С С1С1 В1В1 P M N Q

Задачи Дано изображение правильного треугольника. Построить изображение ортоцентра треугольника, вписанного в данный.

Список литературы Изображение фигур в параллельной проекции // Методическая разработка/ УрГПУ/ сост. В.П.Толстопятов. Екатеринбург, 1995, 42с.

Занятие окончено! Спасибо за внимание!